28.1 : Ecuaciones diferenciales de líneas de transmisión

Las líneas de transmisión son componentes esenciales de los sistemas de energía eléctrica. Se caracterizan por la naturaleza distribuida de la resistencia (R), la inductancia (L) y la capacitancia (C) por unidad de longitud. Para analizar estas líneas, se emplean ecuaciones diferenciales para modelar las variaciones de voltaje y corriente a lo largo de la línea.

Modelo de sección de línea

Un circuito que representa una sección de línea de longitud Δ_x ayuda a comprender los parámetros de la línea de transmisión. El voltaje V(x) y la corriente i(x) se miden desde el extremo receptor. La línea tiene una impedancia en serie z=R+jωL por unidad de longitud y una admitancia en derivación y=G+jωC por unidad de longitud. Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff (KVL) y la ley de corriente de Kirchhoff (KCL) a esta configuración, derive relaciones para las variaciones de voltaje y corriente a lo largo de la línea.

A medida que Δ_x se acerca a cero, estas relaciones se transforman en ecuaciones diferenciales homogéneas, lineales y de primer orden.

Estas ecuaciones diferenciales, a su vez, describen cómo el voltaje y la corriente cambian a lo largo de la línea de transmisión.

Para resolver estas ecuaciones diferenciales es necesario determinar la constante de propagación γ, que encapsula los efectos tanto de la impedancia en serie como de la admitancia en derivación. Las soluciones generales para el voltaje y la corriente a lo largo de la línea incluyen dos constantes de integración evaluadas mediante condiciones de contorno en el extremo receptor.

La impedancia característica Z_c es un parámetro clave que refleja la impedancia intrínseca de la línea de transmisión. Utilizando las soluciones de las ecuaciones diferenciales, la tensión y la corriente se expresan a lo largo de la línea en términos de funciones hiperbólicas, cosh (coseno hiperbólico) y sinh (seno hiperbólico), funciones matemáticas que se utilizan para modelar la distribución de la tensión y la corriente.

Parámetros ABCD

Los parámetros ABCD, o constantes de la línea de transmisión, se derivan de estas funciones hiperbólicas. Estos parámetros proporcionan una representación matricial que relaciona el voltaje y la corriente en cualquier punto a lo largo de la línea con los valores en el extremo receptor. Los parámetros ABCD son cruciales para comprender cómo se propagan las señales a través de la línea de transmisión.

Constante de propagación

La constante de propagación γ es una cantidad compleja con partes reales e imaginarias que representan la atenuación y el desfase, respectivamente. Cuando se multiplica por la longitud de la línea, esta constante se vuelve adimensional y es esencial para evaluar las funciones hiperbólicas que describen la distribución de la tensión y la corriente.

Los parámetros ABCD precisos son válidos para cualquier longitud de línea y ofrecen una solución exacta para el comportamiento de la línea de transmisión. Para cálculos prácticos manuales que involucren líneas de longitud corta y media, se pueden utilizar aproximaciones. Estos parámetros analizan exhaustivamente las líneas de transmisión en diversas condiciones de operación, asegurando una transmisión de energía eficiente y confiable.