19.6 : Solución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada Z

La transformada z es una herramienta poderosa para analizar sistemas prácticos de tiempo discreto, a menudo representados por ecuaciones diferenciales lineales. Para resolver una ecuación diferencial de orden superior se requiere el conocimiento de la señal de entrada y las condiciones iniciales hasta un término menor que el orden de la ecuación.

La transformada z facilita el manejo de señales retrasadas al desplazar la señal en el dominio z, lo que corresponde a retrasar la señal en el dominio del tiempo, y al avanzar las señales al desplazarlas de manera similar en la dirección opuesta para un avance en el tiempo.

Considere una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes específicos y condiciones iniciales, donde la entrada es una función escalón unitario. Al aplicar la transformada z a cada término, la ecuación diferencial se convierte en una expresión algebraica en el dominio z. Esta expresión involucra las representaciones del dominio z de las señales de entrada y salida.

Para resolver la señal de salida del dominio z, esta ecuación algebraica se puede simplificar, a menudo mediante la descomposición en fracciones parciales. Al determinar los coeficientes de las fracciones parciales, obtenemos una forma manejable que se puede invertir nuevamente al dominio del tiempo utilizando la transformada z inversa. La respuesta resultante en el dominio del tiempo demuestra la eficacia de la transformada z para simplificar el análisis de sistemas lineales de tiempo discreto.

Este proceso resalta la utilidad de la transformada z en el procesamiento de señales digitales y sistemas de control. Proporciona un método sencillo para realizar la transición entre los dominios del tiempo y z, resolver ecuaciones complejas y obtener respuestas precisas del sistema. Es fundamental considerar el papel de las condiciones iniciales y la región de convergencia al aplicar la transformada z para garantizar resultados precisos y significativos.