22.5 : Regla del masón

La regla de Mason es una herramienta poderosa en los sistemas de control y procesamiento de señales. Simplifica el cálculo de funciones de transferencia a partir de gráficos de flujo de señales. Este método aprovecha varios elementos, incluidas las ganancias de bucle, las ganancias de trayectoria directa y los bucles sin contacto, para determinar la función de transferencia de manera eficiente.

La ganancia del bucle se determina identificando y rastreando una ruta desde un nodo hasta sí mismo. Esto implica calcular el producto de las ganancias de las ramas a lo largo del bucle. La ganancia de cada bucle es crucial para los cálculos posteriores y contribuye al comportamiento general del sistema.

La ganancia de la ruta directa se calcula trazando una ruta desde el nodo de entrada hasta el nodo de salida. Al igual que la ganancia de bucle, implica el producto de las ganancias a lo largo de esta ruta. Las rutas directas representan la influencia directa de la entrada en la salida y son esenciales para determinar la función de transferencia.

Los bucles sin contacto son bucles en el gráfico de flujo de señales que no comparten ningún nodo común. La ganancia de los bucles sin contacto es el producto de las ganancias de los bucles individuales. Estos bucles sin contacto son importantes porque afectan el cálculo del determinante, Delta (Δ), utilizado en la regla de Mason.

Delta (Δ) se deriva de una serie alterna de sumas que involucran las ganancias de los bucles y las ganancias de los bucles que no se tocan, tomadas dos o más a la vez. Matemáticamente, se puede expresar como:

Δk es una versión modificada de Δ, que excluye las ganancias de bucle que se intersecan con la ruta de avance k-ésima. Esta exclusión es crucial para determinar con precisión la función de transferencia del sistema.

Para calcular la función de transferencia de un sistema utilizando la regla de Mason, se utilizan los siguientes pasos:

1. Identifique todas las ganancias de la ruta de avance (T_k) desde la entrada hasta la salida.
2. Evalúe todas las ganancias de bucle (L_i) e identifique los bucles que no están en contacto.
3. Calcule Δ sumando y restando los productos de las ganancias de bucle y las ganancias de bucle sin contacto como se describe.
4. Para cada ruta de avance, calcule Δ_k excluyendo las ganancias de bucle que se cruzan.
5. Sustituya estos valores en la regla de Mason, dada por:

A través de estos pasos, la regla de Mason proporciona un enfoque organizado y sistemático para derivar la función de transferencia de sistemas complejos, lo que la hace indispensable en la teoría de control y el procesamiento de señales.