14.4 : תכונות הקונבולוציה - I

Convolution computations can be simplified by utilizing their inherent properties.

The commutative property reveals that the input and the impulse response of an LTI system can be interchanged without affecting the output.

The associative property suggests that the merged convolution of three functions remains unchanged, irrespective of the sequence in which the convolution is executed.

When two LTI systems with an impulse response are connected in series, their respective equations can be combined using the associative property to derive an equivalent joint impulse, which is similar to the convolution of their individual impulse responses.

The distributive property enables the convolution operation on multiple input signals' sum and simplifies complex impulse responses by breaking them down into simpler components.

The time-shift property implies that delaying the input of a time-invariant system or, if the system has a built-in delay, it results in the output being delayed by the sum of the two delays.

Computationally, this property allows signals to be delayed or advanced to leverage their symmetry or causality, thereby simplifying the convolution operation.

חישובי קונבולוציה יכולים להיות מופשטים באמצעות שימוש בתכונות המובנות שלהם.

תכונת הקומוטטיביות (חילופיות) מראה שניתן להחליף בין הקלט ותגובת ההלם של מערכת LTI (מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן) מבלי להשפיע על הפלט:

Equation1

תכונת האסוציאטיביות מצביעה על כך שהקונבולוציה המשולבת של שלוש פונקציות נשארת ללא שינוי ללא קשר לסדר הקונבולוציה. לדוגמה, עבור שלוש פונקציות (x(t), h_1(t ו-(h_2(t ניתן לכתוב זאת כך:

Equation2

כאשר שתי מערכות LTI עם תגובות הלם מחוברות בטור, ניתן לשלב את המשוואות שלהן באמצעות תכונת האסוציאטיביות כדי לגזור תגובת הלם משותפת שקולה, שהיא הקונבולוציה של תגובות ההלם שלהן.

תכונת הדיסטריבוטיביות (פיזור) מאפשרת לבצע קונבולוציה על סכום של מספר אותות קלט, ומאפשרת פירוק של תגובות הלם מורכבות לרכיבים פשוטים יותר. מבחינה מתמטית, הדבר מיוצג כך:

Equation3

תכונת ההזזה בזמן מציינת שעיכוב הקלט של מערכת בלתי תלויה בזמן מוביל לכך שהפלט מתעכב באותו שיעור. באופן דומה, אם למערכת יש עיכוב מובנה, הפלט מתעכב בסכום של עיכוב הקלט ועיכוב המערכת. עבור הסטת זמן t_0:

Equation4

מבחינה חישובית, תכונה זו מאפשרת לעכב או להקדים אותות, תוך ניצול הסימטריה או הסיבתיות שלהם כדי לפשט את פעולת הקונבולוציה.

תכונות אלו — קומוטטיביות, אסוציאטיביות, דיסטריבוטיביות, והזזה בזמן — הן כלים יסודיים לפישוט פעולות קונבולוציה במערכות LTI, מה שהופך משימות עיבוד אותות מורכבות לנגישות ויעילות יותר.

Tags

Convolution Properties Commutative Property Associative Property Distributive Property Time shift Property LTI Systems Impulse Response Signal Processing Computational Simplification Input Signals Time invariant System

From Chapter 14:

article

Now Playing

14.4 : תכונות הקונבולוציה - I

Linear Time- Invariant Systems

131 Views

article

14.1 : מערכות לינאריות קבועות בזמן (LTI)

Linear Time- Invariant Systems

202 Views

article

14.2 : תגובת הלם

Linear Time- Invariant Systems

233 Views

article

14.3 : קונבולוציה: מתמטיקה, גרפיקה ואותות בדידים

Linear Time- Invariant Systems

223 Views

article

14.5 : תכונות הקונבולוציה - II

Linear Time- Invariant Systems

166 Views

article

14.6 : דה-קונבולוציה

Linear Time- Invariant Systems

127 Views

article

14.7 : יציבות BIBO של מערכות בזמן רציף ובזמן בדיד

Linear Time- Invariant Systems

321 Views

Copyright © 2025 MyJoVE Corporation. All rights reserved