19.7 : הקשר בין DFT להתמרת Z

התמרת פורייה בדידה (DFT) היא כלי חשוב לניתוח תוכן התדר של אותות בזמן בדיד. היא ממירה סדרה של N דגימות ממישור הזמן לסדרה המקבילה לה במישור התדר, כאשר כל דגימה מייצגת רכיב תדר ספציפי.

כדי להבין כיצד DFT פועלת, כדאי להתייחס להתמרת Z, שהיא שיטה לייצוג סדרות בדידות במישור התדר המרוכב. התמרת Z כוללת סכימה של איברי הסדרה, כאשר כל אחד מהם מוכפל בחזקה של מספר מרוכב. עבור סדרות שמתחילות בנקודה מסוימת בזמן ונמשכות קדימה (סדרות סיבתיות), התמרת Z יכולה להיות מוצגת כסכום אינסופי או סופי, בהתאם לאורך הסדרה.

על ידי חישוב התמרת Z ב-N נקודות שוות-מרווח סביב מעגל היחידה במישור המרוכב, מתקבלים הערכים המתאימים למקדמי ה-DFT. נקודות אלו הן שורשי היחידה, וחישוב התמרת Z בנקודות אלו למעשה דוגם את תוכן התדר של האות בתדרים הספציפיים הללו.

לכן, ניתן לראות את ה-DFT כיישום ספציפי של התמרת Z, המתמקד בחישוב הסדרה במיקומים מדויקים על מעגל היחידה. תהליך זה ממיר סדרות במישור הזמן למקבילות שלהן במישור התדר, מה שמאפשר לנתח את רכיבי התדר השונים של אותות בזמן בדיד.

היכולת של ה-DFT לחשוף את תוכן התדר של אותות מדגישה את חשיבותה בעיבוד אותות דיגיטליים ובתחומים קשורים אחרים. היא משמשת באופן נרחב ביישומים כמו עיבוד אותות שמע, ניתוח תמונה, ומערכות תקשורת. יתר על כן, האלגוריתם היעיל של התמרת פורייה מהירה (FFT) משמש לעיתים קרובות לחישוב ה-DFT, ומאפשר עיבוד בזמן אמת של אותות.