26.4 : Wzór Eulera na kolumny: rozwiązywanie problemów

Wzór Eulera jest stosowany w inżynierii budowlanej do wyznaczania obciążenia wyboczeniowego słupów w różnych warunkach. Jednakże w przypadku systemów zawierających zarówno elementy sztywne, jak i elementy elastyczne, takie jak sprężyny, analiza wymaga dokładniejszego podejścia w celu określenia obciążenia krytycznego. Opisany problem dotyczy dwóch sztywnych prętów połączonych w punkcie obrotowym z zamocowaną sprężyną i obciążeniem pionowym przyłożonym na jednym końcu.

System składa się z dwóch pionowych sztywnych prętów AB i BC o jednakowej długości, połączonych w punkcie obrotu B, podobnie jak staw kolanowy. Do B przymocowana jest sprężyna naciągowa o stałej k, działająca poziomo. Kiedy w punkcie A zostanie przyłożone obciążenie pionowe F w dół, pręty obracają się wokół punktu obrotu B. Sprężyna działa wbrew tej sile, ciągnąc punkt B z powrotem do pierwotnego położenia, co powoduje wydłużenie X sprężyny.

W pierwszej kolejności do analizy tego układu posłużono się diagramem swobodnego ciała dla każdego pręta, a zasady równowagi statycznej zastosowano do analizy sił działających na pręty. Obciążenie osiowe F powoduje obrót układu w punkcie B, co powoduje powstanie siły poziomej i pionowej w prętach.

Utworzono równanie równowagi dla sił poziomych działających na układ, które uwzględnia siłę sprężyny wynikającą z wydłużenia X. Siła sprężyny przeciwdziała bocznemu ruchowi punktu B. Obrót układu w punkcie B również indukuje moment zginający w obu słupy. Równowaga momentu w B dla pręta AB pozwala na wyznaczenie siły reakcji w punkcie A. Polega to na obliczeniu momentu generowanego przez przyłożone obciążenie F i przyrównaniu go do momentu wywołanego siłą reakcji. Podobnie, badanie momentu sił wokół punktu B dla pręta BC daje siłę reakcji w punkcie C. Ten krok obejmuje również siłę sprężyny i jej ramię momentu względem punktu B. Możemy obliczyć całkowitą siłę sprężyny, podstawiając reakcje w punktach A i C do równania równowagi siły poziomej. Siła ta równoważy momenty generowane przez siły reakcji w punktach A i C.

Obciążenie krytyczne układu określa się, uznając, że wydłużenie X sprężyny jest bezpośrednio powiązane z przyłożonym obciążeniem F. Stabilność układu jest zagrożona, gdy wydłużenie sprężyny (a tym samym siła sprężyny) osiąga wartość, której nie można zrównoważyć przez integralność konstrukcyjną zespołu, prowadząc do wyboczenia. Dokładne wyrażenie matematyczne obciążenia krytycznego można wyprowadzić z równań równowagi, uwzględniających stałą sprężystości k, długość prętów i geometrię układu na początku wyboczenia.