19.6 : Rozwiązanie równania różnicowego za pomocą transformacji Z

Transformacja Z jest ważnym narzędziem do analizy praktycznych układów dyskretnych w czasie, często reprezentowanych przez liniowe równania różnicowe. Rozwiązanie równania różnicowego wyższego rzędu wymaga znajomości sygnału wejściowego i warunków początkowych do jednego członu mniejszego niż rząd równania.

Transformacja Z ułatwia obsługę opóźnionych sygnałów poprzez przesunięcie sygnału w dziedzinie Z, co odpowiada opóźnieniu sygnału w dziedzinie czasu, i przesunięcie sygnałów poprzez podobne przesunięcie w przeciwnym kierunku w celu przesunięcia w czasie.

Rozważ równanie różnicowe drugiego rzędu ze szczególnymi współczynnikami i warunkami początkowymi, gdzie wejście jest funkcją skokową jednostkową. Zastosowanie transformacji Z do każdego członu przekształca równanie różnicowe w wyrażenie algebraiczne w dziedzinie Z. To wyrażenie obejmuje reprezentacje w dziedzinie z zarówno sygnałów wejściowych, jak i wyjściowych.

Aby rozwiązać sygnał wyjściowy w dziedzinie Z, to równanie algebraiczne można uprościć, często stosując rozkład ułamków cząstkowych. Określając współczynniki dla ułamków cząstkowych, uzyskujemy łatwą do opanowania formę, którą można odwrócić z powrotem do dziedziny czasu, używając odwrotnej transformacji Z. Otrzymana odpowiedź w dziedzinie czasu pokazuje skuteczność transformacji Z w upraszczaniu analizy liniowych układów dyskretnych w czasie.

Ten proces podkreśla użyteczność transformacji Z w cyfrowych systemach przetwarzania sygnałów i sterowania. Zapewnia ona prostą metodę przejścia między domeną czasu a domeną z, rozwiązywania złożonych równań i uzyskiwania precyzyjnych odpowiedzi układu. Podczas stosowania transformacji Z kluczowe jest rozważenie roli warunków początkowych i obszaru zbieżności, aby zapewnić dokładne i znaczące wyniki.