22.5 : Reguła Masona

Reguła Masona jest potężnym narzędziem w systemach sterowania i przetwarzaniu sygnałów. Upraszcza obliczanie funkcji przejścia z wykresów przepływu sygnału. Ta metoda wykorzystuje różne elementy, w tym wzmocnienia pętli, wzmocnienia ścieżki do przodu i pętle bezdotykowe, aby skutecznie określić funkcję przejścia.

Wzmocnienie pętli jest określane przez identyfikację i śledzenie ścieżki od węzła z powrotem do niego samego. Obejmuje to obliczenie iloczynu wzmocnień gałęzi wzdłuż pętli. Wzmocnienie każdej pętli jest kluczowe dla dalszych obliczeń i przyczynia się do ogólnego zachowania systemu.

Wzmocnienie ścieżki do przodu oblicza się, śledząc ścieżkę od węzła wejściowego do węzła wyjściowego. Podobnie jak wzmocnienie pętli, obejmuje ono iloczyn wzmocnień wzdłuż tej ścieżki. Ścieżki do przodu reprezentują bezpośredni wpływ wejścia na wyjście i są niezbędne do określenia funkcji przejścia.

Pętle niestykające się to pętle na wykresie przepływu sygnału, które nie mają wspólnych węzłów. Wzmocnienie pętli niestykających się jest iloczynem wzmocnień poszczególnych pętli. Te pętle niestykające się są istotne, ponieważ wpływają na obliczenie wyznacznika Delta (Δ), używanego w regule Masona.

Delta (Δ) jest pochodną naprzemiennej serii sum obejmujących wzmocnienia pętli i wzmocnienia niestykających się pętli pobranych po dwie lub więcej na raz. Matematycznie można to wyrazić jako:

Δk jest zmodyfikowaną wersją Δ, wykluczającą wzmocnienia pętli, które przecinają się z k-tą ścieżką do przodu. To wykluczenie jest kluczowe dla dokładnego określenia funkcji przejścia układu.

Aby obliczyć funkcję przejścia układu przy użyciu reguły Masona, należy wykonać następujące kroki:

1. Zidentyfikuj wszystkie wzmocnienia ścieżki do przodu (T_k) od wejścia do wyjścia.
2. Oceń wzmocnienia wszystkich pętli (L_i) i zidentyfikuj pętle niestykające się.
3. Oblicz Δ, sumując i odejmując iloczyny wzmocnień pętli i wzmocnień pętli niestykających się, jak opisano.
4. Dla każdej ścieżki do przodu oblicz Δ_k, wykluczając wzmocnienia pętli przecinających się.
5. Podstaw te wartości do reguły Masona podanej wzorem:

Dzięki tym krokom reguła Masona zapewnia uporządkowane i systematyczne podejście do wyprowadzania funkcji przejścia układów złożonych, co czyni ją niezastąpioną w teorii sterowania i przetwarzaniu sygnałów.