22.5 : Mason Kuralı

Mason kuralı, kontrol sistemleri ve sinyal işlemede güçlü bir araçtır. Sinyal akış grafiklerinden aktarım fonksiyonlarının hesaplanmasını basitleştirir. Bu yöntem, aktarım fonksiyonunu verimli bir şekilde belirlemek için döngü kazançları, ileri yol kazançları ve değmeyen döngüler dahil olmak üzere çeşitli unsurları kullanır.

Döngü kazancı, bir düğümden kendisine geri giden bir yolu tanımlayıp izleyerek belirlenir. Bu, döngü boyunca dal kazançlarının çarpımını hesaplamayı içerir. Her döngünün kazancı, sonraki hesaplamalar için kritik öneme sahiptir ve genel sistem davranışına katkıda bulunur.

İleri yol kazancı, giriş düğümünden çıkış düğümüne bir yol izlenerek hesaplanır. Döngü kazancı gibi, bu yol boyunca kazançların çarpımı ile bulunur. İleri yollar, girişin çıkış üzerindeki doğrudan etkisini temsil eder ve aktarım fonksiyonunu belirlemek için önemlidir.

Değmeyen döngüler, sinyal akış grafiğinde ortak düğümleri olmayan döngülerdir. Değmeyen döngülerin kazancı, bireysel döngü kazançlarının çarpımıdır. Bu değmeyen döngüler, Mason kuralında kullanılan determinant Delta'nın (Δ) hesaplanmasını etkiledikleri için önemlidir.

Delta (Δ), döngü kazançlarını ve aynı anda iki veya daha fazla alınan birbirine değmeyen döngülerin kazançlarını içeren dönüşümlü bir toplam serisinden türetilir. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilebilir:

Δk, Δ'nın değiştirilmiş bir versiyonudur ve k'inci ileri yolla kesişen döngü kazançlarını hariç tutar. Bu hariç tutma, sistemin transfer fonksiyonunu doğru bir şekilde belirlemek için çok önemlidir.

Mason kuralını kullanarak bir sistemin aktarım fonksiyonunu hesaplamak için aşağıdaki adımlar kullanılır:

1. Girişten çıkışa tüm ileri yol kazançlarını (T_k) belirleyin.
2. Tüm döngü kazançlarını (L_i) değerlendirin ve birbirine değmeyen döngüleri belirleyin.
3. Açıklandığı gibi, döngü kazançları ve birbirine değmeyen döngü kazançlarının çarpımlarını toplayıp çıkararak Δ'yı hesaplayın.
4. Her ileri yol için, kesişen döngü kazançlarını hariç tutarak Δ_k'yi hesaplayın.
5. Bu değerleri Mason kuralına koyalım:

Mason kuralı, bu adımları sayesinde karmaşık sistemlerin aktarım fonksiyonunun türetilmesine yönelik düzenli ve sistematik bir yaklaşım sunarak, kontrol teorisi ve sinyal işleme alanında vazgeçilmez hale gelmiştir.