15.3 : خصائص تحويل لابلاس - 1

تحويل لابلاس هو أداة رياضية قوية تُستخدَم لتحويل الدوال من مجال الزمن إلى مجال التردد، مما يبسط إلى حدٍّ كبير تحليل وحل الأنظمة الخطية الثابتة زمنيًا. يتم تسهيل هذا التحويل من خلال العديد من الخصائص العالمية: الخطية، والقياس الزمني، والتحول الزمني، والتحول الترددي.

خاصية الخطية هي الأساس لتحويل لابلاس. تنص على أن تحويل مجموعة خطية من الدوال يعادل نفس التركيب الخطي لتحويلاتها الفردية. رياضيًا، إذا كانت 𝑓(𝑡) وg(t) دالتين مع تحويلات لابلاس 𝐹(𝑠) و𝐺(𝑠) على التوالي، و𝑎 وb ثابتين، فإن تحويل لابلاس لـ 𝑎𝑓(𝑡)+𝑏𝑔(𝑡) هو 𝑎𝐹(𝑠)+𝑏𝐺(𝑠). تبسط هذه الخاصية عملية تحويل الدوال المعقدة، حيث يمكن تحويل كل مكون على حدة قبل دمجه.

التدرج الزمني هو خاصية أساسية أخرى. يشير إلى أن تدرج الدالة بعامل ثابت 𝑎 يؤثر على تحويل لابلاس الخاص بها بطريقة غير بديهية. على وجه التحديد، إذا كان لـ 𝑓(𝑡) تحويل لابلاس 𝐹(𝑠)، فإن تحويل لابلاس لـ f(at) هو 1/|a| F(s/a).

توضِّح هذه الخاصية كيف أن التغيير في المقياس الزمني لدالة، سواء كان ضغطًا أو توسعًا، يترجم إلى تعديل مماثل في مجال التردد، مما يؤثر على كيفية تمثيل سلوك الدالة بمرور الزمن.

يُعد تحويل الوقت خاصية أساسية تُستخدم عندما تتأخر الدوال أو تتقدم في الوقت. إذا تم تحويل 𝑓(𝑡) بمقدار 𝑡_0، مكونًا 𝑓(𝑡−𝑡_0)، فإن تحويل لابلاس الخاص بها هو e^(-(st_0)) F(s). يعكس هذا العامل الأسي التحول في الوقت داخل مجال s، مما يوفر طريقة مباشرة لدمج تأخيرات الوقت في تحليلات النظام.

أخيرًا، يصف تحويل التردد تأثير ضرب دالة مجال زمني بدالة أسية. إذا تم ضرب 𝑓(𝑡) في e^at، فإن تحويل لابلاس الخاص به يصبح 𝐹(𝑠−𝑎). وينتج عن هذا تحول أفقي للتحويل في المجال s، مما يوضح كيف تتغير خصائص المجال الترددي من خلال التعديلات الأسية في المجال الزمني.

باختصار، توفر خصائص تحويل لابلاس هذه - الخطية، والقياس الزمني، والتحويل الزمني، والتحويل الترددي - أدوات قوية للتعامل مع الدوال والأنظمة المعقدة، مما يسهل الانتقال من التحليل في المجال الزمني إلى التحليل في المجال الترددي.