16.2 : متسلسلة فورييه الأسية

في معالجة الإشارات الصوتية، تلعب سلسلة فورييه الأسية دورًا حاسمًا في تركيب الصوت، حيث تسمح بتفكيك الأصوات المعقدة إلى مكونات جيبية أبسط. تُعد عملية التحلل هذه أساسية في تحليل وإعادة بناء النوتات الموسيقية وغيرها من الإشارات الصوتية. تعبر سلسلة فورييه الأسية عن الإشارات الدورية كمجموع الأسية المعقدة عند كل من الترددات التوافقية الموجبة والسالبة، مما يوفر أداة قوية لتحليل الإشارات.

تعتبر متطابقة أويلر مفيدة في هذا السياق. فهي تحوّل المصطلحات الأسية إلى مكونات جيب التمام والجيب المكافئة لها.

بالتعويض بهذه المكونات مرة أخرى في سلسلة فورييه، يمكننا تحقيق تمثيل أكثر تفصيلاً للإشارة الأصلية. يسمح هذا التحويل بالتعبير عن الإشارة بشكل موجز من حيث الأُسِّية المعقدة، مما يبسط تحليل وتركيب الإشارات الدورية.

يتم تحديد معاملات سلسلة فورييه، 𝐶_𝑛، عن طريق تكامل الدالة على فترة واحدة. رياضيًا، يتم إعطاء المعامل 𝐶_𝑛 بواسطة:

حيث 𝑇 هي فترة الإشارة، و𝜔_0 هو التردد الزاوي الأساسي، و𝑛 هو العدد التوافقي. بمجرد حساب هذه المعاملات واستبدالها مرة أخرى في السلسلة، يمكن التعبير عن الدالة على النحو التالي:

توفر هذه المعادلة تمثيلًا موجزًا ​​للدالة الدورية الأصلية من حيث مكوناتها التوافقية.

هناك ثلاثة أشكال مترابطة لسلسلة فورييه: شكل الجيب وجيب التمام، وشكل السعة والطور، والشكل الأسي المركب. توفر هذه الأشكال وجهات نظر وأدوات مختلفة لتحليل الإشارات وتوليفها. يستخدم نموذج الجيب وجيب التمام الدوال المثلثية، ويسلط نموذج السعة والطور الضوء على مقدار وطور كل مكون من مكونات التردد، ويستفيد نموذج الأسي المركب من قوة الأعداد المركبة للحصول على تمثيل أكثر إحكاما.