26.4 : Eulers Formel für Spalten: Problemlösung

Die Eulersche Formel wird in der Bautechnik verwendet, um die Knicklast von Stützen unter verschiedenen Bedingungen zu bestimmen. Wenn es sich jedoch um Systeme handelt, die sowohl starre Elemente als auch elastische Komponenten wie Federn enthalten, erfordert die Analyse einen feineren Ansatz zur Bestimmung der kritischen Last. Bei dem beschriebenen Problem handelt es sich um zwei starre Stangen, die an einem Drehpunkt mit einer daran befestigten Feder verbunden sind und an deren einem Ende eine vertikale Last ausgeübt wird.

Das System besteht aus zwei vertikalen starren Stangen AB und BC gleicher Länge, die ähnlich einem Kniegelenk am Drehpunkt B verbunden sind. An B ist eine Zugfeder mit konstantem k befestigt, die horizontal wirkt. Wenn am Punkt A eine vertikale Last F nach unten ausgeübt wird, drehen sich die Stangen um den Drehpunkt B. Die Feder wirkt dieser Kraft entgegen und zieht Punkt B an seine ursprüngliche Position zurück, was zu einer Dehnung X in der Feder führt.

Um dieses System zu analysieren, wird zunächst ein Freikörperdiagramm für jeden Stab verwendet und die Prinzipien des statischen Gleichgewichts werden angewendet, um die auf die Stäbe wirkenden Kräfte zu analysieren. Die Axiallast F bewirkt, dass das System am Punkt B schwenkt, was sowohl eine horizontale als auch eine vertikale Kraft auf die Stangen zur Folge hat.

Es wird eine Gleichgewichtsgleichung für die auf das System wirkenden horizontalen Kräfte aufgestellt, die die Federkraft aufgrund der Dehnung X einbezieht. Das Momentengleichgewicht bei B für Stab AB ermöglicht die Bestimmung der Reaktionskraft am Punkt A. Dazu muss das durch die aufgebrachte Last F erzeugte Moment berechnet und mit dem Moment aufgrund der Reaktionskraft gleichgesetzt werden. In ähnlicher Weise ergibt die Untersuchung des Kraftmoments um Punkt B für den Stab BC die Reaktionskraft am Punkt C. Dieser Schritt berücksichtigt auch die Federkraft und ihren Momentenarm relativ zum Punkt B. Wir können die gesamte Federkraft berechnen, indem wir die Reaktionen bei den Punkten A und C in die horizontale Kraftgleichgewichtsgleichung einsetzen. Diese Kraft gleicht die durch die Reaktionskräfte an den Punkten A und C erzeugten Momente aus.

Die kritische Belastung für das System wird bestimmt, indem man erkennt, dass die Dehnung X der Feder in direktem Zusammenhang mit der aufgebrachten Belastung F steht. Die Stabilität des Systems wird beeinträchtigt, wenn die Federdehnung (und damit die Federkraft) einen Wert erreicht, der nicht durch die strukturelle Integrität der Baugruppe ausgeglichen werden kann, was zum Knicken führt. Der genaue mathematische Ausdruck für die kritische Belastung kann aus den Gleichgewichtsgleichungen abgeleitet werden, wobei die Federkonstante k, die Länge der Stäbe und die Geometrie des Systems zu Beginn des Knickens berücksichtigt werden.