22.5 : Masons Regel

Masons Regel ist ein leistungsstarkes Werkzeug in Steuerungssystemen und der Signalverarbeitung. Sie vereinfacht die Berechnung von Übertragungsfunktionen aus Signalflussdiagrammen. Diese Methode nutzt verschiedene Elemente, darunter Schleifenverstärkungen, Vorwärtspfadverstärkungen und selbstbezogene Schleifen, um die Übertragungsfunktion effizient zu bestimmen.

Die Schleifenverstärkung wird ermittelt, indem ein Pfad von einem Knoten zurück zu sich selbst identifiziert und verfolgt wird. Dabei wird das Produkt der Schleifenverstärkung entlang der Schleife berechnet. Die Verstärkung jeder Schleife ist für weitere Berechnungen entscheidend und trägt zum Gesamtverhalten des Systems bei.

Die Vorwärtspfadverstärkung wird berechnet, indem ein Pfad vom Eingangsknoten zum Ausgangsknoten verfolgt wird. Wie die Schleifenverstärkung handelt es sich dabei um das Produkt der Verstärkungen entlang dieses Pfads. Vorwärtspfade stellen den direkten Einfluss des Eingangs auf den Ausgang dar und sind für die Bestimmung der Übertragungsfunktion von entscheidender Bedeutung.

Selbstbezogene Schleifen sind Schleifen im Signalflussdiagramm, die keine gemeinsamen Knoten haben. Die Verstärkung selbstbezogener Schleifen ist das Produkt der einzelnen Schleifenverstärkungen. Diese selbstbezogene Schleifen sind wichtig, da sie die Berechnung der Determinante Delta (Δ) beeinflussen, die in Masons Regel verwendet wird.

Delta (Δ) wird aus einer abwechselnden Reihe von Summen abgeleitet, die Schleifenverstärkungen und die Verstärkungen selbstbezogener Schleifen beinhalten, wobei zwei oder mehr gleichzeitig genommen werden. Mathematisch kann es wie folgt ausgedrückt werden:

Δ_k ist eine modifizierte Version von Δ, wobei Schleifenverstärkungen ausgeschlossen werden, die den k-ten Vorwärtspfad schneiden. Dieser Ausschluss ist für die genaue Bestimmung der Übertragungsfunktion des Systems von entscheidender Bedeutung.

Um die Übertragungsfunktion eines Systems mithilfe der Mason-Regel zu berechnen, werden die folgenden Schritte verwendet:

1. Identifizieren Sie alle Vorwärtspfadverstärkungen (T_k) vom Eingang zum Ausgang.
2. Bewerten Sie alle Schleifengverstärkungen (L_i) und identifizieren Sie nicht berührende Schleifen.
3. Berechnen Sie Δ, indem Sie die Produkte aus Schleifenverstärkungen und selbstbezogene Schleifenverstärkungen wie beschrieben summieren und subtrahieren.
4. Berechnen Sie für jeden Vorwärtspfad Δ_k, indem Sie sich überschneidende Schleifenverstärkungen ausschließen.
5. Setzen Sie diese Werte in die Mason-Regel ein, die wie folgt gegeben ist:

Durch diese Schritte bietet die Mason-Regel einen geordneten und systematischen Ansatz zur Ableitung der Übertragungsfunktion komplexer Systeme und ist daher in der Kontrolltheorie und Signalverarbeitung unverzichtbar.