33.4 : Équation des ondes électromagnétiques

Les équations de Maxwell pour les champs électromagnétiques sont liées aux charges sources, qu'elles soient statiques ou en mouvement. Ces champs agissent sur une charge de test, dont la trajectoire peut ainsi être déterminée en utilisant des conditions aux limites appropriées. L'objectif de l'électromagnétisme est donc théoriquement complet.

Cependant, bien que les champs électriques et magnétiques aient été introduits initialement en tant que constructions mathématiques pour simplifier la description des forces mutuelles entre les charges, une question naturelle émerge des équations de Maxwell : Que se passe-t-il avec les champs électriques et magnétiques lorsqu'il n'y a pas de charges sources ?

Considérons les formes différentielles des quatre équations de Maxwell dans le vide. Une symétrie naturelle est observée dans les équations aux dérivées partielles du premier ordre, à l'exception des constantes naturelles.

Des explorations mathématiques ont révélé que chaque composante du champ électrique et magnétique suit la même équation d'onde. La vélocité est déterminée par une combinaison des constantes naturelles : la permittivité du vide et la perméabilité du vide. En substituant leurs valeurs numériques, Maxwell a découvert que cette vélocité est très proche de la valeur expérimentale de la vélocité de la lumière.

Le résultat est surprenant compte tenu de l'indépendance des observations : l'une provenant de la théorie de l'électrodynamique, qui a émergé de l'étude des charges et des courants en laboratoire, et l'autre d'une détermination expérimentale de la vélocité de la lumière.

En faisant le lien entre ces éléments, Maxwell a émis l'hypothèse que la lumière n'est rien d'autre que des ondes électromagnétiques. L'hypothèse a ensuite été vérifiée expérimentalement. Cette démarche historique est une leçon essentielle sur l'importance des mathématiques pour expliquer la nature. De plus, les champs électriques et magnétiques ne sont pas de simples constructions mathématiques ; ils peuvent se déplacer sans aucun matériau présent, ce qui leur donne une signification physique.

Les solutions générales des équations d'onde sont connues. Étant donné que les champs électromagnétiques suivent le principe de la superposition, des solutions plus générales des équations d'onde peuvent être écrites sous forme de superpositions linéaires de ces solutions.

Les équations de Maxwell imposent des contraintes supplémentaires sur les solutions générales. Elles révèlent d'autres faits remarquables : les champs électriques et magnétiques sont en phase les uns avec les autres, sont mutuellement perpendiculaires, et sont tous deux perpendiculaires à la direction de propagation de l'onde. Ainsi, les ondes électromagnétiques sont des ondes transverses.