19.6 : Résolution d'équations différentielles à l'aide de la transformée en Z

La transformée en Z est un outil puissant pour analyser des systèmes pratiques à temps discret, souvent représentés par des équations différentielles linéaires. La résolution d'une équation différentielle d'ordre supérieur nécessite la connaissance du signal d'entrée et des conditions initiales jusqu'à un terme inférieur à l'ordre de l'équation.

La transformée en Z facilite le traitement des signaux retardés en décalant le signal dans le domaine z, ce qui correspond au retard du signal dans le domaine temporel, et en faisant avancer les signaux en les décalant de la même manière dans la direction opposée pour une avance temporelle.

Considérons une équation différentielle du second ordre avec des coefficients et des conditions initiales spécifiques, où l'entrée est une fonction échelon unité. L'application de la transformée en Z à chaque terme convertit l'équation différentielle en une expression algébrique dans le domaine z. Cette expression implique les représentations dans le domaine z des signaux d'entrée et de sortie.

Pour résoudre le signal de sortie dans le domaine z, cette équation algébrique peut être simplifiée, souvent à l'aide d'une décomposition en fractions partielles. En déterminant les coefficients des fractions partielles, nous obtenons une forme gérable qui peut être inversée dans le domaine temporel à l'aide de la transformée en z inverse. La réponse dans le domaine temporel qui en résulte démontre l'efficacité de la transformée en z pour simplifier l'analyse des systèmes linéaires à temps discret.

Ce processus met en évidence l'utilité de la transformée en z dans le traitement du signal numérique et les systèmes de contrôle. Il fournit une méthode simple pour passer du domaine temporel au domaine z, résoudre des équations complexes et obtenir des réponses précises du système. Il est essentiel de prendre en compte le rôle des conditions initiales et de la région de convergence lors de l'application de la transformée en z pour garantir des résultats précis et significatifs.