22.5 : Règle de Mason

La règle de Mason est un outil puissant dans les systèmes de contrôle et le traitement du signal. Elle simplifie le calcul des fonctions de transfert à partir des graphiques de flux de signaux. Cette méthode exploite divers éléments, notamment les gains de boucle, les gains de chemin direct et les boucles sans contact, pour déterminer efficacement la fonction de transfert.

Le gain de boucle est déterminé en identifiant et en traçant un chemin d'un nœud vers lui-même. Cela implique de calculer le produit des gains de branche le long de la boucle. Le gain de chaque boucle est crucial pour les calculs ultérieurs et contribue au comportement global du système.

Le gain de trajet direct est calculé en traçant un chemin du nœud d'entrée au nœud de sortie. Comme le gain de boucle, il implique le produit des gains le long de ce chemin. Les chemins directs représentent l'influence directe de l'entrée sur la sortie et sont essentiels pour déterminer la fonction de transfert.

Les boucles sans contact sont des boucles dans le graphique de flux de signal qui ne partagent aucun nœud commun. Le gain des boucles sans contact est le produit des gains des boucles individuelles. Ces boucles sans contact sont importantes car elles affectent le calcul du déterminant, Delta (Δ), utilisé dans la règle de Mason.

Le delta (Δ) est obtenu d'une série alternée de sommes impliquant les gains de boucle et les gains de boucles sans contact prises à deux ou plus à la fois. Mathématiquement, il peut être exprimé comme suit:

Δ_k est une version modifiée de Δ, excluant les gains de boucle qui croisent le k-ième chemin direct. Cette exclusion est cruciale pour déterminer avec précision la fonction de transfert du système.

Pour calculer la fonction de transfert d'un système en utilisant la règle de Mason, les étapes suivantes sont utilisées:

1. Identifiez tous les gains du chemin direct (T_k) de l’entrée à la sortie.
2. Évaluez tous les gains de boucle (L_i) et identifiez les boucles sans contact.
3. Calculez Δ en additionnant et en soustrayant les produits des gains de boucle et des gains de boucle sans contact comme décrit.
4. Pour chaque chemin direct, calculez Δ_k en excluant les gains de boucle d'intersection.
5. Remplacez ces valeurs dans la règle de Mason, donnée par:

Grâce à ces étapes, la règle de Mason fournit une approche organisée et systématique pour obtenir la fonction de transfert de systèmes complexes, la rendant indispensable dans la théorie du contrôle et le traitement du signal.