Name: measurement of chladni mode shapes with an optical lever method
Uploaded: 2020-06-05T13:30:00
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这项工作得到了国家自然科学基金（第11772045号）和北京科技大学教育教学改革项目（第11772045号）的支持（JG2017M58）。

1. 实验设置和程序
注：设置实验系统，如图 2所示。
<ol><li>振动系统的准备<ol>
<li>准备三个直径为 150 mm、200 mm 和 250 mm 的 1.0 毫米厚镜面圆形丙烯酸板。在每个板的中心钻一个直径为 3 mm 的孔。沿任意半径每 5 mm 标记几个黑点。</li>
		<li>将每个板连接到振动器的驱动杆上，中间点有一个螺栓。使用波形发生器使用正弦波驱动振动器，默认设置将足以进?...

<ol>
	<li>Waller, M. D. <a target="_blank" href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed&cmd=Search&doptcmdl=Citation&defaultField=Title+Word&term=Vibrations+of+free+circular+plates.+Part+1:+Normal+modes.">Vibrations of free circular plates. Part 1: Normal modes.</a> Proceedings of the Physical Society. 50 (1), 70-76 (1938).</li><li>Waller, M. D. <a target="_blank" href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed&cmd=Search&doptcmdl=Citation&defaultField=Title+Word&term=Vibrations+of+free+square+plates:+part+I.+Normal+vibrating+modes.">Vibrations of free square plates: part I. Normal vibrating modes.</a> Proceedings of the Physical Society. 51 (5), 831-844 (1939).</li><li>Waller, M. D. <a target="_blank" href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed&cmd=Search&doptcmdl=Citation&defaultField=Title+Word&term=Vibrations+of+free+plates:+isosceles+right-angled+triangles.">Vibrations of free plates: isosceles right-angled triangles.</a> Proceedings of the Physical Society. 53 (1), 35-39 (1941).</li><li>Waller, M. D. <a target="_blank" href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed&cmd=Search&doptcmdl=Citation&defaultField=Title+Word&term=Vibrations+of+Free+Rectangular+Plates.">Vibrations of Free Rectangular Plates.</a> Proceedings of the Physical Society Section B. 62 (5), 277-285 (1949).</li><li>Waller, M. D. <a target="_blank" href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed&cmd=Search&doptcmdl=Citation&defaultField=Title+Word&term=Vibrations+of+Free+Elliptical+Plates.">Vibrations of Free Elliptical Plates.</a> Proceedings of the Physical Society Section B. 63 (6), 451-455 (1950).</li><li>Tuan, P. H., Wen, C. P., Chiang, P. Y., Yu, Y. T., Liang, H. C., Huang, K. F., et al. <a target="_blank" href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed&cmd=Search&doptcmdl=Citation&defaultField=Title+Word&term=Exploring+the+resonant+vibration+of+thin+plates:+Reconstruction+of+Chladni+patterns+and+determination+of+resonant+wave+numbers.">Exploring the resonant vibration of thin plates: Reconstruction of Chladni patterns and determination of resonant wave numbers.</a> The Journal of the Acoustical Society of America. 137 (4), 2113-2123 (2015).</li><li>Tuan, P. H., Lai, Y. H., Wen, C. P., Huang, K. F., Chen, Y. F. <a target="_blank" href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed&cmd=Search&doptcmdl=Citation&defaultField=Title+Word&term=Point-driven+modern+Chladni+figures+with+symmetry+breaking.">Point-driven modern Chladni figures with symmetry breaking.</a> Scientific Reports. 8 (1), 10844 (2018).</li><li>Castellini, P., Martarelli, M., Tomasini, E. P. <a target="_blank" href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed&cmd=Search&doptcmdl=Citation&defaultField=Title+Word&term=Laser+Doppler+Vibrometry:+Development+of+advanced+solutions+answering+to+technology's+needs.">Laser Doppler Vibrometry: Development of advanced solutions answering to technology's needs.</a> Mechanical Systems and Signal Processing. 20 (6), 1265-1285 (2006).</li><li>Sels, S., Vanlanduit, S., Bogaerts, B., Penne, R. <a target="_blank" href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed&cmd=Search&doptcmdl=Citation&defaultField=Title+Word&term=Three-dimensional+full-field+vibration+measurements+using+a+handheld+single-point+laser+Doppler+vibrometer.">Three-dimensional full-field vibration measurements using a handheld single-point laser Doppler vibrometer.</a> Mechanical Systems and Signal Processing. 126, 427-438 (2019).</li><li>Georgas, P. J., Schajer, G. S. <a target="_blank" href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed&cmd=Search&doptcmdl=Citation&defaultField=Title+Word&term=Simultaneous+Measurement+of+Plate+Natural+Frequencies+and+Vibration+Mode+Shapes+Using+ESPI.">Simultaneous Measurement of Plate Natural Frequencies and Vibration Mode Shapes Using ESPI.</a> Experimental Mechanics. 53 (8), 1461-1466 (2013).</li><li>Luo, Y., Feng, R., Li, X. D., Liu, D. H. <a target="_blank" href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed&cmd=Search&doptcmdl=Citation&defaultField=Title+Word&term=A+simple+approach+to+determine+the+mode+shapes+of+Chladni+plates+based+on+the+optical+lever+method.">A simple approach to determine the mode shapes of Chladni plates based on the optical lever method.</a> European Journal of Physics. 40, 065001 (2019).</li><li>Coleman, H. W., Steele, W. G. <a target="_blank" href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed&cmd=Search&doptcmdl=Citation&defaultField=Title+Word&term=.">.</a> Experimentation and uncertainty analysis for engineer. , (1999).</li></ol>

本文采用光学杠杆法确定板的模位，因为克拉德尼图案只能显示振动板的节点线。要确定板材的模位形状，应提前获得光屏的斜率和距离与点长度之间的关系。然后通过明确的集成计算，可以定量确定克拉德尼模式的模式形状。
通常，本方法的整个过程包括以下步骤：（1） 执行强制振动测试以获得板的谐振频率。（2） 在谐振频率附近进行强制振动测试，记录 Chladni 模式节?...

Chladni 模式形状在科学和工程应用中都非常感兴趣。Chladni模式是物理波的反应，人们可以通过各种方法来说明波模式。通过勾勒出节点线，显示弹性板上的各种振动模式是众所周知的方法。小粒子总是被用来显示克拉德尼模式，因为它们可以停止在节点，其中板的相对振动振幅为零，节点的位置随振振模式变化，形成各种 Chladni 模式。
许多研究人员已经关注了各种Chladni图案，但它们只显示模式形状的节点线，节点线之间的模式形状（即振动振幅）没有说明。沃勒调查了圆1、正方形2、直角三角形3、矩形4、椭圆5板的自由振动，并说明了不同的克拉德尼图案。Tuan等人通过实验和理论方法重建了不同的克拉德尼模式，在理论建模6、7中采用了不均匀的赫尔姆霍尔茨方程。这是一种流行的方法，使用激光多普勒振动计（LDV）或电子斑点模式干涉测量（ESPI）定量测量克拉德尼模式8，9，10的模式形状。虽然LDV实现了飞速计振幅分辨率和非常高的频率范围，但不幸的是，LDV的价格对于课堂演示和/或大学物理教育来说也有点贵。考虑到这一考虑，本文提出了一种简单的方法，以低成本定量确定 Chladni 图案的模式形状，因为这里只需要一支额外的激光笔和一个光屏。
本测量方法如图11所示。振动板有三个不同的位置：休息位置、位置 1 和位置 2。位置 1 和位置 2 表示板的两个最大振动位置。激光笔在板表面投影直光束，如果板位于休息位置，激光束将直接反射到光屏。当板位于位置 1 和 2 时，激光束将分别反射到光屏幕上的 A 点和 B 点。由于视觉的持久性的影响，光屏上会有一条明亮的直线。亮光L的长度与光屏与激光点位置之间的距离D相关。板上的不同点具有不同的斜点，这可以通过L和D之间的关系来决定。在获得板上不同点模式形状的斜率后，问题变为一个确定的整体。借助板的边界振动振幅和离散斜率数据，可以方便地获得振动板的模式形状。整个实验设置在图211中给出。
本文介绍了光学杠杆方法测量克拉德尼模式形状的实验设置和程序。还说明了一些典型的实验结果。

<table>
	<tbody>
		<tr>
			<td>Acrylic plates</td>
			<td>Dongguan Jinzhu Lens Products Factory</td>
			<td></td>
			<td>Three 1.0-mm-thickness mirrored circular acrylic plates with diameter of 150 mm, 200 mm and 250 mm respectively. They are easily deformed.</td>
		</tr>
		<tr>
			<td>Laser pen</td>
			<td>Deli Group</td>
			<td>2802</td>
			<td>Red laser is more friendly to the viewer. The finer the laser beam, the better.</td>
		</tr>
		<tr>
			<td>Light screen</td>
			<td>Northern Tempered Glass Custom Taobao Store</td>
			<td></td>
			<td>Several layers of frosted stickers can be placed on the glass to achieve the effect of frosted glass.</td>
		</tr>
		<tr>
			<td>Ruler</td>
			<td>Deli Group</td>
			<td>DL8015</td>
			<td>The length is 1m and the division value is 1mm.</td>
		</tr>
		<tr>
			<td>Signal generator</td>
			<td>Dayang Science Education Taobao Store</td>
			<td>TFG6920A</td>
			<td>Common ones in university laboratories are available.</td>
		</tr>
		<tr>
			<td>Vibrator</td>
			<td>Dayang Science Education Taobao Store</td>
			<td></td>
			<td>The maximum amplitude is 1.5cm.The power is large enough to cause a noticeable phenomenon when the board vibrates. Otherwise, add a power amplifier.</td>
		</tr>
	</tbody>
</table>

measurement of chladni mode shapes with an optical lever method

定量确定弹性板的 Chladni 模式在物理科学和工程应用中都有着浓厚的兴趣。本文提出了一种基于光学杠杆法的振动板模式形状测量方法。在不同的中心谐波起动下，在测量中采用了三个圆形丙烯酸板。与传统方法不同，这种新方法只采用了普通激光笔和由地面玻璃制成光屏。方法如下：激光笔将光束垂直投影到振动板，然后将光束反射到远处的光屏上，形成由反射点组成的线段。由于视觉持久性的原则，光斑可以读为一条明亮的直线。通过代数操作可以获得模式形状的斜率、光斑的长度与振动板的距离和光屏之间的关系。然后，通过将坡度分布与合适的边界条件集成，可以确定模式形状。Chladni 板的全场模式形状也可以以如此简单的方式进一步确定。

可以通过频率扫除测试确定能够激发轴对称 Chladni 模式的激发频率。测试了三个直径为150毫米、200毫米和250毫米的圆形丙烯酸板，结果表明，三个板的一阶轴对称共振频率分别是346赫兹、214赫兹和150赫兹。结论是，直径较大，板更灵活，对应的谐振频率更小。图311中提供了不同直径的丙烯酸板的克拉德尼图案。
在相应的振振频率下，?...

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Measurement of Chladni Mode Shapes with an Optical Lever Method

提出了一种用光学杠杆原理测量弹性板上的Chladni模式形状的简单方法。

使用光学杠杆方法测量克拉德尼模式形状

Quantitatively determining the Chladni pattern of an elastic plate is of great interest in both physical science and engineering applications. In this ...

此过程可提供清晰的概览，用于使用光学杠杆方法确定 Chladni 模式形状。建议的方法是一种相当简单的方法，以非常低的成本定量确定 Chladni 模式的形状。了解偏微分方程和有限元法对过程的成功执行具有十分重要的作用。为了建立振动系统，分别获得两个直径为150mm和200mm的1mm厚镜面圆形丙烯酸板。在每个板的中心钻一个直径为 3mm 的孔，并沿任意半径每 5mm 标记几个点。将每个板连接到振动器的驱动杆上，中间点有一个螺栓，并使用波形发生器用下弦波驱动振动器。为了获得谐振频率，请使用激光笔将激光束从120mm的距离垂直投射到振动板上，使光束反射到距离内500mm的光屏。快速移动激光笔沿垂直于其长度的方向扫描直径，同时信号发生器会持续更改其频率。当点长度沿直径显著拉伸，并且一些几乎没有扩展的点出现时，开始缓慢扫描特定频率范围，并确定点扩展最明显的频率。要准备光路和测量系统，请将光屏与振动板平行放置，然后用仪表标尺标记距离。然后，使用 500mm 作为起始距离，将激光笔垂直投影到板上，使光束反射到远处的光屏上，确保激光笔移动时可以扫描先前制作的标记。为了获得实验测量，打开信号发生器，将激励频率设置为点扩张最明显的谐振频率。一旦光屏上的光斑足够大，可以记录，信号强度应尽可能小。调整激光笔，使入点与第一个标记重合，即与板的固定点最近的标记，将屏幕从 500mm 移动到 1000mm，每 50mm 测量一次屏幕的点长度。然后调整激光笔，使出因点紧邻下一个标记，并重复从 500mm 到 1000mm 的测量，正如刚才演示的。测量所有事件点后，使用下一个最大直径的丙烯酸板重复测量。可以通过频率扫描测试确定能够激发轴对称 Chladni 模式的激发频率。较大的板直径与较高的板灵活性相关。在相应的振振频率下，可以测量和记录不同板光屏上的光斑长度。绘制此数据允许比较不同板的模式形状。此过程最重要的方面是在测量点长度时获得准确的数据，因为此数据决定了整个实验的准确性。此方法还可用于确定非轴对称模式形状在单词次要，以钻石跟踪 Chladni 图案的美丽。

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