16.3 : خصائص سلسلة فورييه I

سلسلة فورييه هي أداة قوية في معالجة الإشارات والاتصالات، حيث تسمح بالتعبير عن الإشارات الدورية كمجموعات من دوال الجيب وجيب التمام. إحدى الخصائص الأساسية لسلسلة فورييه هي الخاصية الخطية. إذا نظرنا إلى إشارتين دوريتين، فإن تركيبتهما الخطية تؤدي إلى إشارة جديدة تكون معاملات فورييه فيها ببساطة التركيبات الخطية المقابلة لمعاملات الإشارات الأصلية. هذه الخاصية بالغة الأهمية في تطبيقات مثل راديو التضمين الترددي (FM)، حيث يمكن إرسال إشارات متعددة عبر نفس القناة دون تداخل.

يؤدي التحويل الزمني لإشارة دورية إلى ترك حجم معاملات فورييه الخاصة بها دون تغيير. يشير هذا الثبات إلى أن الخصائص الأساسية للإشارة تظل سليمة على الرغم من التحول. على سبيل المثال، في البث الإذاعي، تضمن هذه الخاصية أن تحويل الإشارة في الوقت لا يغير جودتها. رياضيًا، إذا تم إزاحة x(t) بمقدار 𝑡_0، فإن الإشارة الجديدة 𝑥(𝑡−𝑡_0) لها معاملات فورييه 𝑒^(−𝑗𝜔t) 𝑋(𝑗𝜔)، حيث 𝑋(𝑗𝜔) هي المعاملات الأصلية. يظل المقدار ∣𝑋(𝑗𝜔)∣ دون تغيير.

يعد عكس الزمن خاصية رئيسية أخرى حيث يخضع تسلسل معاملات سلسلة فورييه للإشارة أيضًا لعكس الزمن. بالنسبة للإشارة 𝑥(𝑡)، فإن نسختها المعكوسة زمنيًا 𝑥(−𝑡) سيكون لها معاملات فورييه هي المرافق المركب للمعاملات الأصلية، 𝑋(−𝑗𝜔). تُستخدم هذه الخاصية على نطاق واسع في معالجة الإشارات الرقمية، وخاصة في عمليات الالتفاف، مما يبسط التلاعب الرياضي بالإشارات.

يؤثر التناظر في الإشارات أيضًا على معاملات فورييه الخاصة بها. فالإشارة الزوجية، التي تلبي 𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡)، لها معاملات فورييه حقيقية وزوجية. وعلى العكس من ذلك، فإن الإشارة الفردية، حيث 𝑥(𝑡) = −𝑥(−𝑡)، لها معاملات خيالية وفردية بحتة. تساعد خصائص التناظر هذه في تبسيط تحليل وتركيب الإشارات.

باختصار، خصائص سلسلة فورييه - الخطية، وثبات التحول الزمني، وعكس الوقت، والتناظر - أساسية في تطبيقات مختلفة، وخاصة في تحسين جودة الإشارة وتسهيل مهام معالجة الإشارة في الاتصالات والبث.