16.3 : Eigenschaften der Fourier-Reihe I

Die Fourier-Reihe ist ein leistungsstarkes Werkzeug in der Signalverarbeitung und Kommunikation, mit dem periodische Signale als Summen von Sinus- und Cosinusfunktionen ausgedrückt werden können. Eine grundlegende Eigenschaft der Fourier-Reihe ist die Linearität. Wenn wir zwei periodische Signale betrachten, ergibt ihre lineare Kombination ein neues Signal, dessen Fourier-Koeffizienten einfach die entsprechenden linearen Kombinationen der Koeffizienten der ursprünglichen Signale sind. Diese Eigenschaft ist entscheidend in Anwendungen wie Frequenzmodulationsradio (FM), wo mehrere Signale ohne Störungen über denselben Kanal übertragen werden können.

Bei der Zeitverschiebung eines periodischen Signals bleibt die Größe seiner Fourier-Koeffizienten unverändert. Diese Invarianz bedeutet, dass die wesentlichen Eigenschaften des Signals trotz der Verschiebung erhalten bleiben. Beim Rundfunk beispielsweise stellt diese Eigenschaft sicher, dass die zeitliche Verschiebung eines Signals dessen Qualität nicht verändert. Mathematisch gesehen hat das neue Signal x(t−t_0) Fourierkoeffizienten e^(−jω) X(jω), wenn x(t) um t_0 verschoben wird, wobei X(jω) die ursprünglichen Koeffizienten sind. Der Betrag ∣X(jω)∣ bleibt unverändert.

Die Zeitumkehr ist eine weitere wichtige Eigenschaft, bei der auch die Sequenz der Fourierreihenkoeffizienten eines Signals eine Zeitumkehr erfährt. Für ein Signal x(t) hat seine zeitumgekehrte Version x(−t) Fourierkoeffizienten, die die komplex konjugierten Werte der ursprünglichen Koeffizienten X(−jω) sind. Diese Eigenschaft wird in der digitalen Signalverarbeitung häufig verwendet, insbesondere bei Faltungsoperationen, um die mathematische Manipulation von Signalen zu vereinfachen.

Die Symmetrie von Signalen beeinflusst auch ihre Fourierkoeffizienten. Ein gerades Signal, das x(t) = x(−t) erfüllt, hat Fourierkoeffizienten, die reell und gerade sind. Umgekehrt hat ein ungerades Signal, bei dem x(t) = −x(−t), rein imaginäre und ungerade Koeffizienten. Diese Symmetrieeigenschaften helfen dabei, die Analyse und Synthese von Signalen zu vereinfachen.

Zusammenfassend sind die Eigenschaften der Fourier-Reihe – Linearität, Zeitverschiebungsinvarianz, Zeitumkehr und Symmetrie – für verschiedene Anwendungen von grundlegender Bedeutung, insbesondere für die Verbesserung der Signalqualität und die Erleichterung der Signalverarbeitung in Kommunikation und Rundfunk.