26.2 : Fórmula de Euler para columnas con extremos pin

En ingeniería estructural, la estabilidad de las columnas bajo cargas axiales de compresión es una consideración crítica, descrita como pandeo. Un ejemplo típico involucra una columna PQ, que está conectada por pasadores en ambos extremos y sometida a una carga axial céntrica F aplicada en un extremo, con una fuerza de reacción de F’ = -F en el otro extremo. Aquí, es crucial comprender que cuando una carga aplicada excede la carga crítica, se produce pandeo a medida que el sistema se vuelve inestable.

Para calcular la carga crítica, imagine la columna PQ como una viga vertical. Considere el punto O, situado sobre la curva elástica de la viga, a una distancia x del extremo libre P. Con la aplicación de la carga, el punto O se desvía una distancia y de su posición vertical original. En este punto, el momento flector en el punto O puede describirse mediante la segunda derivada de su deflexión, y, con respecto a x, lo que simboliza un pivote hacia la comprensión del comportamiento de la viga bajo tensión.

Donde f se define como,

Esta ecuación tiene una solución general que tiene términos seno y coseno. Los valores límite del sistema dan los coeficientes de la solución.

La solución requiere que el término seno sea cero, lo que da la expresión de carga crítica. Esta expresión se conoce como fórmula de Euler.

Al sustituir la fórmula de Euler en la ecuación diferencial se obtiene la expresión de la curva elástica de la columna después del pandeo.

Aquí es importante señalar que la fórmula de Euler se deriva del supuesto de que antes de la carga, la columna debe ser perfectamente recta, homogénea e isotrópica y que la carga axial se aplica perfectamente a lo largo del eje vertical.