26.2 :  Pim Uçlu Sütunlar için Euler Formülü

Yapı mühendisliğinde, kolonların basınç eksenel yükleri altındaki stabilitesi, burkulma olarak tanımlanan kritik bir husustur. Tipik bir örnek, her iki ucundan pimle bağlanan ve bir ucunda F' = -F reaksiyon kuvvetiyle diğer ucunda uygulanan merkezi eksenel yük F'ye maruz kalan bir PQ kolonunu içerir. Burada, uygulanan yük kritik yükü aştığında sistemin kararsız hale gelmesiyle burkulmanın meydana geldiğini anlamak çok önemlidir.

Kritik yükü hesaplamak için PQ sütununu dikey bir kiriş olarak düşünün. Kirişin esnek eğrisi üzerinde, serbest uç P'den x kadar uzakta bulunan O noktasını düşünün. Yükün uygulanmasıyla O noktası, orijinal dikey konumundan y kadar sapar. Bu noktada, O noktasındaki bükülme momenti, kirişin gerilim altındaki davranışını anlamaya yönelik bir döngülü simgeleyen, x'e göre sapmasının ikinci türevi olan y ile tanımlanabilir.

Burada f şu şekilde tanımlanır:

Bu denklemin sinüs ve kosinüs terimlerine sahip genel bir çözümü vardır. Sistemin sınır değerleri çözümün katsayılarını verir.

Çözüm, kritik yük ifadesini verecek şekilde sinüs teriminin sıfır olmasını gerektirir. Bu ifade Euler formülü olarak bilinir.

Euler formülünü diferansiyel denklemde yerine koymak, kolonun burkulmadan sonraki esneklik eğrisinin ifadesini verir.

Burada Euler formülünün, kolonun yüklemeden önce tamamen düz, homojen ve izotrop olduğu ve eksenel yükün düşey eksen boyunca mükemmel şekilde uygulandığı varsayımlarından türetildiğini belirtmek önemlidir.