18.1 : Teorema de muestreo

En el procesamiento de señales, el análisis de señales de tiempo continuo, denotadas como x(t), a menudo implica técnicas de muestreo para convertir estas señales en señales de tiempo discreto. Este proceso es esencial para la representación y manipulación digital. Un componente crítico en el muestreo es el tren de impulsos, caracterizado por el intervalo de muestreo y la frecuencia de muestreo. La relación entre estos parámetros y las propiedades de la señal original determina el éxito del proceso de muestreo.

La multiplicación de la señal de tiempo continuo por el tren de impulsos da como resultado una serie de impulsos discretos. Esta operación produce una señal muestreada, que se puede analizar en el dominio de la frecuencia utilizando la transformada de Fourier. La transformada de Fourier revela que el espectro de la señal muestreada consta de múltiples versiones desplazadas del espectro de la señal original. Estas copias espectrales están espaciadas entre sí por la frecuencia de muestreo.

Un principio fundamental en la teoría del muestreo es que para evitar la superposición entre estos espectros desplazados, la frecuencia de muestreo debe ser lo suficientemente alta. En concreto, la frecuencia de muestreo fsf_sfs debe ser mayor que el doble de la frecuencia más alta presente en la señal original, una condición conocida como la tasa de Nyquist. Cuando fsf_sfs cumple o supera esta tasa, los espectros no se superponen, lo que garantiza que la señal original se pueda reconstruir perfectamente a partir de sus muestras. Este requisito está encapsulado en el Teorema de muestreo, que establece que para una señal de banda limitada, la frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble del componente de frecuencia más alta de la señal.

Cuando una señal se muestrea a una frecuencia superior a la tasa de Nyquist, se considera sobremuestreada. El sobremuestreo puede proporcionar beneficios como la reducción del ruido y un diseño de filtros digitales más sencillo. Por el contrario, si la frecuencia de muestreo es inferior a la frecuencia de Nyquist, la señal queda submuestreada, lo que da lugar a un fenómeno conocido como aliasing. El aliasing hace que los diferentes componentes de frecuencia se vuelvan indistinguibles entre sí, lo que distorsiona la señal reconstruida.

En aplicaciones prácticas, el cumplimiento de la frecuencia de Nyquist es crucial para la representación digital y la reconstrucción precisas de señales analógicas. Este principio sustenta varias tecnologías, entre ellas el audio digital, las telecomunicaciones y las imágenes médicas, y garantiza que las señales se puedan muestrear, procesar y reconstruir sin pérdida de información crítica.

Referencias utilizadas (enumere todas las fuentes):

1. Sadiku, M.N.O. and Ali, W.H. (2016). Signals and Systems- Primer with Matlab. Boca Raton, FL: CRC Press, Taylor and Francis Group. Pp. 247-249.