18.1 : Örnekleme Teoremi

Sinyal işlemede, x(t) olarak gösterilen sürekli zamanlı sinyallerin analizi, genellikle bu sinyalleri ayrık zamanlı sinyallere dönüştürmek için örnekleme tekniklerini içerir. Bu süreç, dijital gösterim ve manipülasyon için önemlidir. Örneklemenin kritik bir adımı, örnekleme aralığı ve örnekleme frekansı ile karakterize edilen impuls dizisidir. Bu parametreler ile orijinal sinyalin özellikleri arasındaki ilişki, örnekleme sürecinin başarısını belirler.

Sürekli zamanlı sinyalin impuls dizisi ile çarpılması, bir ayrık impuls dizisi ile sonuçlanır. Bu işlem, Fourier dönüşümü kullanılarak frekans alanında analiz edilebilen örneklenmiş bir sinyal üretir. Fourier dönüşümü, örneklenmiş sinyalin spektrumunun, orijinal sinyalin spektrumunun birden fazla kaydırılmış versiyonundan oluştuğunu ortaya koyar. Bu spektral kopyalar, örnekleme frekansı kadar aralıklıdır.

Örnekleme teorisindeki temel bir ilkenin de belirttiği üzere bu kaydırılmış spektrumlar arasındaki çakışmayı önlemek için örnekleme frekansının yeterince yüksek olması gerekir. Özellikle, fsf_sfs örnekleme frekansı, orijinal sinyalde bulunan en yüksek frekansın iki katından büyük olmalıdır; bu durum Nyquist oranı olarak bilinir. fsf_sfs bu oranı karşıladığında spektrumlar çakışmaz ve orijinal sinyalin örneklerinden mükemmel bir şekilde yeniden oluşturulabilmesini sağlar. Bu gereklilik, bant sınırlı bir sinyal için örnekleme frekansının sinyalin en yüksek frekans bileşeninin en az iki katı olması gerektiğini belirten Örnekleme Teoremi'nde özetlenmiştir.

Bir sinyal Nyquist oranından daha yüksek bir frekansta örneklendiğinde, aşırı örnekleme olarak kabul edilir. Aşırı örnekleme, azaltılmış gürültü ve daha basit dijital filtre tasarımı gibi avantajlar sağlayabilir. Tersine, örnekleme oranı Nyquist oranından düşükse, sinyal yetersiz örneklenir ve bu da aliasing olarak bilinen bir olguya yol açar. Aliasing, farklı frekans bileşenlerinin birbirinden ayırt edilemez hale gelmesine ve yeniden oluşturulan sinyali bozmasına neden olur.

Pratik uygulamalarda, analog sinyallerin doğru dijital gösterimi ve yeniden oluşturulması için Nyquist oranına uyulması çok önemlidir. Bu ilke; dijital ses, telekomünikasyon ve tıbbi görüntüleme dahil olmak üzere çeşitli teknolojilerin temelini oluşturur ve sinyallerin kritik bilgilerin kaybı olmadan örneklenebilmesini, işlenebilmesini ve yeniden oluşturulabilmesini sağlar.

Kaynakça:

1. Sadiku, M.N.O. and Ali, W.H. (2016). Signals and Systems- Primer with Matlab. Boca Raton, FL: CRC Press, Taylor and Francis Group. Pp. 247-249.