17.2 : אותות בסיסיים של התמרת פורייה

התמרת פורייה היא כלי מתמטי חיוני בעיבוד אותות, המאפשרת את המרת אותות ממרחב הזמן לייצוג שלהם במרחב התדר. בתוך התחום הזה, פונקציות מסוימות כמו פונקציית ה-sinc, פונקציית הדלתא, ואותות אקספוננציאליים הן בעלות חשיבות רבה בשל תכונותיהן הייחודיות והשלכותיהן.

פונקציית ה-sinc, המוגדרת כ- sinc(x) = sin(πx)/(πx), ידועה במיוחד בזכות הסימטריה שלה והתנהגותה בנקודת האפס. היא מקבלת ערך של אחד כאשר הארגומנט שלה שווה לאפס, ומציגה סימטריה זוגית סביב ציר ה-\(y\). פונקציה זו מופיעה במרחב התדר כהתמרת פורייה של פולס מלבני. פולס מלבני, שמאופיין במשרעת קבועה על פני מרווח מסוים, מומר לפונקציית sinc. ה-sinc המתקבל סימטרי, עם שיא בולט במרכז, והאונות שלו יורדות בעוצמתן ככל שמתרחקים מהמרכז. טרנספורמציה זו מראה שפולס מלבני במרחב הזמן מורכב מסדרה אינסופית של תדרי הרמוניה.

פונקציית הדלתא, או פונקציית הדלתא של דיראק, היא אלמנט חשוב נוסף בלימוד התמרות פורייה. היא מוגדרת כאפס בכל מקום פרט לאפס, שם היא אינסופית באופן כזה שהאינטגרל שלה על כל הישר הממשי שווה לאחד. התמרת פורייה של פונקציית הדלתא מניבה ערך קבוע בכל התדרים, מה שמעיד על כך שפונקציית הדלתא מכילה את כל התדרים באותה משרעת. תכונה זו הופכת את פונקציית הדלתא לכלי חיוני לניתוח וסינתזה של אותות, שכן היא משמשת כבסיס לבניית פונקציות אחרות באמצעות קונבולוציה.

אותות אקספוננציאליים, המיוצגים על ידי פונקציות מרוכבות מהצורה e^jωt, הם בסיסיים בתיאור תנודות סינוסואידליות בתדרים מסוימים. כאשר אות אקספוננציאלי עובר התמרת פורייה, התוצאה היא דחף יחיד בתדר המתאים במרחב התדר. טרנספורמציה זו מדגישה את התוכן התדרי הטהור של האות האקספוננציאלי, ומראה שהוא מורכב מרכיב תדר יחיד ללא הרמוניות.