17.2 : Segnali di base della trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier è uno strumento matematico fondamentale nell'elaborazione del segnale, che consente la trasformazione dei segnali del dominio del tempo nelle loro rappresentazioni del dominio della frequenza. Tra i numerosi elementi all'interno di questo dominio, alcune funzioni come la funzione sinc, la funzione delta e i segnali esponenziali hanno un'importanza significativa a causa delle loro proprietà e implicazioni uniche.

La funzione sinc, definita come sinc(x) = sin(πx)/(πx), è particolarmente degna di nota per la sua simmetria e il suo comportamento a 0. Raggiunge un valore di 1 quando il suo argomento è 0 e mostra una simmetria uniforme rispetto all'asse y. Questa funzione emerge in modo evidente nel dominio della frequenza come la trasformata di Fourier di un impulso rettangolare. Un impulso rettangolare, caratterizzato dalla sua ampiezza costante su un intervallo specifico, si trasforma in una funzione sinc. La funzione sinc risultante è simmetrica con un picco pronunciato all'origine, e i suoi lobi diminuiscono in ampiezza man mano che si allontanano dal centro. Questa trasformazione mostra che un impulso rettangolare nel dominio del tempo è composto da una serie infinita di frequenze armoniche.

La funzione delta, o funzione delta di Dirac, è un altro elemento critico nello studio delle trasformate di Fourier. È definita come 0 ovunque tranne che a 0, dove è infinitamente grande in modo che il suo integrale sull'intera linea reale sia uguale a 1. La trasformata di Fourier di una funzione delta produce un valore costante su tutte le frequenze, indicando che la funzione delta comprende tutte le frequenze con uguale ampiezza. Questa proprietà rende la funzione delta uno strumento essenziale per analizzare e sintetizzare i segnali, in quanto funge da base per costruire altre funzioni tramite la convoluzione.

I segnali esponenziali, rappresentati da funzioni a valori complessi della forma e^jωt, sono fondamentali per descrivere le oscillazioni sinusoidali a frequenze specifiche. Quando un segnale esponenziale subisce una trasformata di Fourier, il risultato è un singolo impulso alla frequenza corrispondente nel dominio della frequenza. Questa trasformazione evidenzia il contenuto di frequenza pura del segnale esponenziale, dimostrando che è formato da una singola componente di frequenza senza armoniche.