22.2 : Relazione tra Equazioni Matematiche e Diagrammi a Blocchi

In un sistema molla-massa-smorzatore, l'equazione differenziale di secondo ordine, descrive il comportamento dinamico del sistema. Quando trasformata nel dominio di Laplace, in condizioni iniziali pari a zero, questa equazione può essere efficacemente analizzata e manipolata. La trasformazione nel dominio di Laplace converte le equazioni differenziali in equazioni algebriche, semplificando il processo di isolamento dell'output.

Applicando la trasformata di Laplace all'equazione differenziale standard del sistema molla-massa-smorzatore, si ottiene il seguente output:

Nella costruzione del diagramma a blocchi, i segnali sul lato destro possono essere collegati per semplificarne la rappresentazione. Il diagramma a blocchi, può essere ulteriormente rifinito per incorporare variabili interne come accelerazione e velocità. Poiché 1/s corrisponde all'integrazione nel dominio di Laplace, il segnale di accelerazione viene integrato per ottenere la velocità e la velocità viene integrata per produrre il segnale di spostamento.

La semplificazione del diagramma a blocchi, comporta la fattorizzazione dei termini dal ciclo di feedback interno. Questo processo porta a un diagramma a blocchi alternativo, che rappresenta visivamente le relazioni tra accelerazione, velocità e spostamento.

Per ricavare la funzione di trasferimento del sistema, il blocco che rappresenta i segnali di input e feedback, viene spostato sul lato destro del comparatore e il ciclo di feedback interno viene semplificato. L'equazione risultante fornisce la funzione di trasferimento:

Questa funzione di trasferimento è essenziale per analizzare il comportamento del sistema, prevedere la sua risposta a vari input e progettare strategie di controllo per ottenere le caratteristiche prestazionali desiderate.