23.6 : Kryterium stabilności Routha-Hurwitza I

Rozważmy sieć elektroenergetyczną, w której stabilność jest niezbędna, aby zapobiec przerwom w dostawie prądu. Kryterium stabilności Routha-Hurwitza jest cennym narzędziem do oceny stabilności systemu przy zmieniających się warunkach obciążenia lub awarii. Analizując funkcję przejścia pętli zamkniętej, kryterium stabilności Routha-Hurwitza pomaga określić, czy system pozostaje stabilny.

Aby zastosować kryterium Routha-Hurwitza, konstruowana jest tablica Routha. Wiersze tablicy są oznaczone potęgami zmiennej częstotliwości zespolonej s, zaczynając od najwyższej potęgi. Zmienna s reprezentuje liczbę zespoloną, zwykle w formie

gdzie σ jest częścią rzeczywistą, a jω częścią urojoną. Pierwszy wiersz wypełniany jest poziomo każdym innym współczynnikiem wielomianu mianownika, zaczynając od najwyższej potęgi. Drugi wiersz wypełniany jest następnie pominiętymi współczynnikami z pierwszego wiersza.

Następne wpisy w tabeli Routh są obliczane przy użyciu wyznaczników poprzednich wierszy. Dokładniej, każdy wpis jest określany przez wzięcie ujemnego wyznacznika dwóch wpisów nad nim i podzielenie go przez pierwszy wpis w kolumnie bezpośrednio nad nim. Ten proces jest kontynuowany, aż cała tabela zostanie wypełniona.

Aby to zilustrować, rozważmy system, dla którego obliczane są wiersze tabeli Routha. W razie potrzeby każdy wiersz jest niezależnie skalowany przez dodatnią stałą, aby uprościć obliczenia. Zgodnie z kryterium Routha-Hurwitza liczba pierwiastków wielomianu w prawej połowie płaszczyzny s odpowiada liczbie zmian znaku w pierwszej kolumnie tabeli Routha. Te zmiany znaku wskazują na niestabilność.

Odwrotnie, układ jest stabilny, jeśli wszystkie bieguny znajdują się w lewej połowie płaszczyzny s, co oznacza, że ​​nie ma żadnych zmian znaku w pierwszej kolumnie tabeli Routha. Upewnienie się, że nie nastąpią żadne zmiany znaku, potwierdza, że ​​układ pozostanie stabilny w różnych warunkach działania.

Zrozumienie i stosowanie kryterium stabilności Routha-Hurwitza jest kluczowe dla utrzymania stabilności złożonych systemów, takich jak sieci elektroenergetyczne. Poprzez sprawdzenie, czy wszystkie bieguny znajdują się w lewej połowie płaszczyzny s, inżynierowie mogą zapewnić, że system będzie działał niezawodnie, zapobiegając problemom takim jak przerwy w dostawie prądu i zapewniając ciągłe zasilanie. Ta metoda zapewnia systematyczne podejście do analizy stabilności, identyfikując i łagodząc potencjalną niestabilność w systemie.