16.2 : Série exponencial de Fourier

No processamento de sinais de áudio, a série exponencial de Fourier desempenha um papel crucial na síntese sonora, permitindo que sons complexos sejam divididos em componentes senoidais mais simples. Esse processo de decomposição é fundamental na análise e reconstrução de notas musicais e outros sinais de áudio. A série exponencial de Fourier expressa sinais periódicos como a soma de exponenciais complexos em frequências harmônicas positivas e negativas, fornecendo uma ferramenta poderosa para análise de sinais.

A identidade de Euler é instrumental neste contexto. Ela transforma os termos exponenciais em seus componentes cosseno e seno equivalentes.

Ao substituir esses componentes de volta na série de Fourier, podemos obter uma representação mais detalhada do sinal original. Esta transformação permite que o sinal seja expresso concisamente em termos de exponenciais complexas, simplificando a análise e síntese de sinais periódicos

Os coeficientes da série de Fourier, C_n, são determinados pela integração da função em um período. Matematicamente, o coeficiente C_n é dado por:

Onde T é o período do sinal, ω_0 é a frequência angular fundamental e n é o número harmônico. Uma vez que esses coeficientes são calculados e substituídos de volta na série, a função pode ser expressa como:

Esta equação fornece uma representação sucinta da função periódica original em termos de seus componentes harmônicos.

Existem três formas interconectadas da série de Fourier: a Forma Seno-Cosseno, a Forma Amplitude-Fase e a Forma Exponencial Complexa. Essas formas oferecem diferentes perspectivas e ferramentas para analisar e sintetizar sinais. A Forma Seno-Cosseno usa funções trigonométricas, a Forma Amplitude-Fase destaca a magnitude e a fase de cada componente de frequência e a Forma Exponencial Complexa aproveita o poder dos números complexos para uma representação mais compacta.