24.5 : Construção do Lugar das Raízes

A construção de um lugar das raízes envolve várias etapas importantes para analisar e visualizar o comportamento dos pólos de um sistema com ganho variável. O número de ramificações no lugar das raízes é igual ao número de pólos de malha fechada e é simétrico em relação ao eixo real.

Para valores de ganho positivos, o lugar das raízes existe no eixo real à esquerda de um número ímpar de pólos ou zeros finitos de malha aberta. O lugar das raízes começa nos pólos de malha aberta e traça os caminhos dos pólos de malha fechada conforme o ganho aumenta. Ele termina nos zeros de malha aberta, onde os pólos do sistema se estabilizam conforme o ganho continua a aumentar.

Se uma função se aproxima do infinito conforme s se aproxima do infinito, ela tem um pólo no infinito. Por outro lado, se uma função se aproxima de zero, ela tem um zero no infinito. Conforme o lugar das raízes se estende em direção ao infinito, ele segue assíntotas específicas. As equações dessas assíntotas são determinadas pela interceptação do eixo real e seus ângulos, que indicam os caminhos que os lugares das raízes tomam dos pólos ao infinito.

Para calcular esses caminhos para um dado sistema, determina-se a interceptação do eixo real e os ângulos das assíntotas. Os ângulos são derivados com base no número de pólos e zeros e começam a se repetir conforme o ganho aumenta. A fórmula para o ângulo das assíntotas é dada por,

onde k é um inteiro, n é o número de pólos e m é o número de zeros.

O gráfico completo do lugar geométrico das raízes começa nos pólos do circuito aberto e termina nos zeros do circuito aberto. Este gráfico adere às regras que regem o método do lugar das raízes, garantindo que a estabilidade e a resposta do sistema possam ser completamente analisadas e previstas.

Seguindo essas etapas, os engenheiros podem usar efetivamente o método do lugar das raízes para projetar e ajustar sistemas de controle, garantindo o desempenho e a estabilidade desejados em várias condições operacionais. Essa abordagem fornece uma visualização clara de como os pólos do sistema migram com um ganho crescente, auxiliando no design robusto de estratégias de controle.