17.4 :  Свойства преобразования Фурье II

Преобразование Фурье (FT) является важным математическим инструментом в обработке сигналов, преобразуя сигнал временной области в его представление в частотной области. Это преобразование проясняет связь между временным и частотным доменами с помощью нескольких свойств, каждое из которых раскрывает уникальные аспекты поведения сигнала.

Свойство сдвига частоты преобразований Фурье подчеркивает, что сдвиг в частотном домене соответствует сдвигу фазы во временном домене. Математически, если x(t) имеет преобразование Фурье x(f), то x(t)e^(j2πf_0t) имеет преобразование Фурье X(f−f_0). Это свойство является фундаментальным в радиовещании, где сдвиг частоты модулирует несущий сигнал входным сигналом, позволяя одновременно передавать несколько каналов, назначая разные полосы частот каждому каналу.

Свойство дифференцирования по времени утверждает, что преобразование Фурье производной функции x(t) задается как j2πfX(f), где X(f) — это преобразование Фурье x(t). Это подразумевает, что дифференцирование во временном домене соответствует умножению на j2πf в частотном домене. Понимание этого свойства имеет решающее значение для анализа того, как временные изменения, такие как изменения, вызванные задержками вещания, связанными с часовыми поясами, влияют на сигналы.

Свойство дифференцирования по частоте дополняет временную дифференциацию, подчеркивая глубокую взаимосвязь между временным и частотным доменами. Оно показывает, что дифференциация функции в частотном домене соответствует умножению во временном домене на −j2πt.

Свойство дуальности раскрывает глубокую симметрию между временным и частотным доменами. Если X(f) — это преобразование Фурье x(t), то x(f) — это преобразование Фурье X(−t). Эта двойственность подчеркивает зеркальную связь между этими доменами, где преобразования в одном домене отражаются в другом, с изменением знака в экспоненциальном члене интеграла Фурье.

Наконец, свойство свертки является ключевым в обработке сигналов. Оно утверждает, что преобразование Фурье свертки двух функций временного домена является произведением их индивидуальных преобразований Фурье. Если x(t) и h(t) свертываются для получения y(t), то Y(f) = X(f)H(f), где Y(f), X(f) и H(f) являются преобразованиями Фурье y(t), x(t) и h(t) соответственно. Это свойство упрощает объединение нескольких сигналов и широко используется в фильтрации и системном анализе.

Эти свойства преобразования Фурье в совокупности улучшают наше понимание поведения сигнала во временном и частотном доменах, обеспечивая надежную основу для анализа и манипулирования сигналами в различных приложениях, от радиовещания до обработки звука.