17.5 : Теорема Парсеваля для преобразования Фурье

Теорема Парсеваля — это фундаментальный принцип обработки сигналов, который позволяет вычислять энергию сигнала как во временном, так и в частотном домене. Эта теорема имеет решающее значение для демонстрации сохранения энергии между этими двумя доменами, гарантируя, что вычисленное значение энергии остается постоянным независимо от домена анализа.

Чтобы понять теорему Парсеваля, необходимо сначала понять, как обычно вычисляется энергия сигнала. При рассмотрении мощности сигнала его энергия может быть вычислена на основе стандартного значения резистора, обычно установленного на 1 Ом. Мощность в этом контексте эквивалентна квадрату напряжения или тока сигнала. Такой подход упрощает вычисление энергии, позволяя легко связать мощность сигнала с его энергией. Теорема Парсеваля расширяет концепцию вычисления энергии на частотный домен, предоставляя мощный инструмент для анализа сигнала. Теорема утверждает, что полная энергия сигнала может быть определена либо путем интегрирования квадрата сигнала во временном домене, либо путем интегрирования квадрата его преобразования Фурье в частотном домене.

Значение теоремы важно, поскольку она связывает временной и частотный домены, показывая, что энергия, присутствующая в сигнале, может быть точно отражена в любом из доменов. Квадратная величина преобразования Фурье, часто называемая плотностью энергии сигнала, предоставляет альтернативный метод вычисления энергии сигнала косвенно из его частотных компонентов.

В практических приложениях теорема Парсеваля обеспечивает сохранение энергии в задачах обработки сигналов, таких как фильтрация, модуляция и спектральный анализ. Она подчеркивает неотъемлемую связь между представлением сигнала во временном домене и его характеристиками в частотном домене, что делает ее незаменимой при анализе и обработке сигналов. Используя теорему Парсеваля, инженеры и ученые могут уверенно переходить между анализами во временном и частотном доменах, обеспечивая точность и согласованность расчетов энергии в различных доменах.