17.6 : تحويل فورييه المنفصل

يعد تحويل فورييه المنفصل (DTFT) أداة رياضية أساسية لتحليل الإشارات المنفصلة، ​​وتحويلها من مجال الزمن إلى مجال التردد. يسمح هذا التحويل بفحص مكونات التردد للإشارات المنفصلة، ​​مما يوفر رؤى حول خصائصها الطيفية. في DTFT، يتم استبدال التكامل المستمر المستخدم في تحويل فورييه المستمر بمجموع لاستيعاب الطبيعة المنفصلة للإشارة.

إحدى الخصائص البارزة لـ DTFT هي دورته. طيف فورييه X(Ω) دوري بفترة 2𝜋. تعني هذه الدورية أنه يمكن تمثيل 𝑋(Ω) كسلسلة فورييه، مما يسهِّل تقنيات تحليلية وحسابية مختلفة. الطبيعة الدورية لـ DTFT تمكن أيضًا من حساب معكوسها، تحويل فورييه العكسي للزمن المنفصل (IDTFT)، والذي يعيد بناء إشارة الزمن المنفصل الأصلية من طيف ترددها.

هنا، يمثل Ω متغير التردد، والذي يختلف عن متغير التردد المستمر الذي يشار إليه عادةً بـ ω. والنتيجة، X(Ω)، هي طيف فورييه للإشارة المنفصلة. يعتمد وجود وتقارب 𝑋(Ω) على قابلية جمع إشارة الزمن المنفصل x[n]. إذا كان 𝑥[𝑛] قابلاً للجمع بشكل مطلق، فإن 𝑋(Ω) موجود ويتقارب.

وعلى الرغم من الطبيعة المنفصلة للإشارة الأصلية، فإن 𝑋(Ω) عبارة عن دالة مستمرة لمتغير التردد Ω، مما يسلط الضوء على دور DTFT كجسر بين المجالات المنفصلة والمستمرة. وهذه الخاصية محورية في العديد من التطبيقات العملية، وخاصة في تصميم وتحليل المرشحات الرقمية المستخدمة في معالجة الصوت والفيديو، وأنظمة الاتصالات، ومعالجة الإشارات الطبية الحيوية.

وباختصار، فإن DTFT هي أداة أساسية في معالجة الإشارات، مما يتيح تحليل ومعالجة الإشارات المنفصلة في مجال التردد. وتؤكد خصائصها وتطبيقاتها على أهميتها في الجوانب النظرية والعملية للهندسة والتكنولوجيا الحديثة.