17.6 : התמרת פורייה בזמן בדיד (DTFT)

התמרת פורייה בזמן בדיד (DTFT) היא כלי מתמטי חשוב לניתוח אותות בזמן בדיד, ומאפשרת להמיר אותם ממרחב הזמן למרחב התדר. טרנספורמציה זו מאפשרת לבחון את רכיבי התדר של אותות בדידים, ומספקת תובנות על המאפיינים הספקטרליים שלהם. ב-DTFT, האינטגרל הרציף המשמש בהתמרת פורייה בזמן רציף מוחלף בסכום כדי להתאים לאופיו הבדיד של האות.

אחת התכונות הבולטות של ה-DTFT היא המחזוריות שלה. הספקטרום של פורייה X(Ω) הוא מחזורי עם מחזור של 2π. מחזוריות זו מרמזת ש- X(Ω) ניתן לייצוג כטור פורייה, דבר המקל על יישום טכניקות ניתוח וחישוב שונות. טבעו המחזורי של ה-DTFT גם מאפשר את חישוב ההופכי שלו, התמרת פורייה ההפוכה בזמן בדיד (IDTFT), המשחזרת את אות הזמן הבדיד המקורי מתוך הספקטרום התדרי שלו.

כאן, Ω מייצגת את המשתנה התדרי, הנבדל מהמשתנה התדרי הרציף המסומן לרוב ב-ω. התוצאה, X(Ω),היא הספקטרום של פורייה לאות הבדיד. קיום והתכנסות X(Ω)תלויים בסכימות האבסולוטית של האות הבדיד x[n] אם x[n] סכום מוחלט, אז X(Ω) קיים ומתכנס.

למרות אופיו הבדיד של האות המקורי, X(Ω) היא פונקציה רציפה של המשתנה התדרי Ω, מה שמדגיש את תפקיד ה-DTFT כגשר בין תחומים בדידים ורציפים. תכונה זו חשובה במיוחד ביישומים מעשיים רבים, במיוחד בתכנון וניתוח מסננים דיגיטליים המשמשים בעיבוד אודיו ווידאו, מערכות תקשורת, ועיבוד אותות ביו-רפואיים.

לסיכום, ה-DTFT הוא כלי בסיסי בעיבוד אותות, המאפשר ניתוח ומניפולציה של אותות בזמן בדיד במרחב התדר. תכונותיו ויישומיו מדגישים את חשיבותו הן בהיבטים תיאורטיים והן ביישומים מעשיים בהנדסה וטכנולוגיה מודרנית.