La Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) è uno strumento matematico essenziale per analizzare i segnali a tempo discreto, convertendoli dal dominio del tempo a quello della frequenza. Questa trasformazione consente di esaminare le componenti di frequenza dei segnali discreti, fornendo informazioni sulle loro caratteristiche spettrali. Nella DTFT, l'integrale continuo usato nella trasformata di Fourier a tempo continuo viene sostituito da una sommatoria per adattarsi alla natura discreta del segnale.

Una delle proprietà notevoli della DTFT è la sua periodicità. Lo spettro di Fourier X(Ω) è periodico con un periodo di 2π. Questa periodicità implica che X(Ω) può essere rappresentato come una serie di Fourier, facilitando varie tecniche analitiche e computazionali. La natura periodica della DTFT consente anche il calcolo della sua inversa, ovvero la Trasformata di Fourier a tempo discreto inversa (IDTFT), che ricostruisce il segnale a tempo discreto originale dal suo spettro di frequenza.

Qui, Ω rappresenta la variabile di frequenza, differenziata dalla variabile di frequenza continua tipicamente indicata con ω. Il risultato, X(Ω), è lo spettro di Fourier del segnale discreto. L'esistenza e la convergenza di X(Ω) dipendono dalla sommabilità del segnale a tempo discreto X[n]. Se x[n] è assolutamente sommabile, allora X(Ω) esiste e converge.

Nonostante la natura discreta del segnale originale, X(Ω) è una funzione continua della variabile di frequenza Ω, evidenziando il ruolo del DTFT come ponte tra i domini discreti e quelli continui. Questa caratteristica è fondamentale in varie applicazioni pratiche, in particolare nella progettazione e nell'analisi di filtri digitali usati nell'elaborazione audio e video, nei sistemi di comunicazione e nell'elaborazione del segnale biomedico.

In sintesi, il DTFT è uno strumento fondamentale nell'elaborazione del segnale, consente l'analisi e la manipolazione di segnali a tempo discreto nel dominio della frequenza. Le sue proprietà e applicazioni sottolineano la sua importanza negli aspetti sia teorici che pratici dell'ingegneria e della tecnologia moderna.