19.2 : منطقة التقارب

يعد تحويل z أداة رياضية قوية تُستخدم في تحليل الإشارات والأنظمة ذات الزمن المنفصل. وهو أداة بالغة الأهمية في تحليل الأنظمة ذات الزمن المنفصل، ولكن تقاربه يقتصر على قيم محددة للمتغير المركب 𝑧. هذا النطاق من القيم، المعروف باسم منطقة التقارب (ROC)، أساسي في تحديد سلوك واستقرار النظام أو الإشارة. يحدد ROC المنطقة في المستوى المركب حيث يتقارب تحويل z، والتي يمكن أن تتخذ أشكالاً مختلفة مثل داخل الدائرة أو خارج الدائرة أو داخل حلقة.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك إشارة ذات زمن منفصل أسّي 𝑥[𝑛]. يشكل تحويل z لهذه الإشارة سلسلة هندسية، حيث يتوافق ROC الخاص به مع المنطقة خارج الدائرة التي يبلغ نصف قطرها 𝑎، ومركزها نقطة الأصل. يُعد موقع ROC فيما يتعلق بالدائرة الوحدوية أمرًا بالغ الأهمية في تقييم استقرار النظام. إذا كان ROC يتضمن الدائرة الوحدوية، فإن النظام يكون مستقرًا. وعلى العكس من ذلك، إذا كان ROC يقع خارج الدائرة الوحدوية، فإن النظام يكون غير مستقر. عندما يتطابق ROC بدقة مع الدائرة الوحدوية، يُعتبر النظام مستقرًا بشكل هامشي.

لا ​​يوجد تحويل فورييه للزمن المنفصل (DTFT) للإشارة إلا إذا كان ROC لتحويل z يتضمن الدائرة الوحدوية. وتمتد أهمية ROC إلى تحويل z العكسي أيضًا، والذي يُستخدم لاسترجاع إشارة المجال الزمني الأصلية من تحويل z الخاص بها. يجب النظر في ROC بعناية في هذه العملية، حيث لا يتقارب تحويل z عند الأقطاب، والتي يتم استبعادها من ROC.

إن فهم ROC أمر ضروري ليس فقط لضمان تقارب تحويل z ولكن أيضًا لتحليل وتوقع استقرار واستجابة أنظمة الزمن المنفصل. من خلال تحديد المنطقة المحددة التي يتقارب فيها تحويل z، يساعد ROC في تصميم أنظمة مستقرة وتتصرف بشكل متوقع. إن تأثير ROC على التحويل العكسي z يؤكد أهميته في معالجة الإشارات، مما يجعله مفهومًا أساسيًا لأي شخص يعمل مع إشارات وأنظمة زمنية منفصلة.