19.2 : תחום ההתכנסות

התמרת Z היא כלי מתמטי רב עוצמה המשמש לניתוח אותות ומערכות בזמן בדיד. זהו כלי חיוני לניתוח מערכות בזמן בדיד, אך ההתכנסות שלה מוגבלת לערכים מסוימים של המשתנה המרוכב z. טווח ערכים זה, הידוע כתחום ההתכנסות (ROC), הוא בסיסי בקביעת התנהגות ויציבות של מערכת או אות. ה-ROC מגדיר את האזור במישור המרוכב שבו התמרת Z מתכנסת, ויכול ללבוש צורות שונות כגון פנים מעגל, חוץ מעגל, או בתוך טבעת.

לדוגמה, נבחן אות מעריכי בזמן בדיד [x[n. התמרת Z של אות זה יוצרת סדרה גיאומטרית, כאשר ה-ROC מתאים לאזור מחוץ למעגל בעל רדיוס a, שמרכזו בראשית הצירים. מיקום ה-ROC ביחס למעגל היחידה הוא קריטי בהערכת יציבות המערכת. אם ה-ROC כולל את מעגל היחידה, המערכת יציבה. לעומת זאת, אם ה-ROC נמצא מחוץ למעגל היחידה, המערכת אינה יציבה. כאשר ה-ROC חופף במדויק למעגל היחידה, המערכת נחשבת ליציבה שולית.

התמרת פורייה בזמן בדיד (DTFT) של אות קיימת רק אם ה-ROC של התמרת Z כולל את מעגל היחידה. חשיבות ה-ROC מתרחבת גם לתחום התמרת Z ההפוכה, המשמשת לשחזור האות המקורי במישור הזמן מתוך התמרת ה-Z שלו. בתהליך זה, יש להתחשב ב-ROC באופן זהיר, שכן התמרת ה-Z אינה מתכנסת בקטבים, שאינם כלולים ב-ROC.

הבנת תחום ההתכנסות חיונית לא רק כדי להבטיח את התכנסות התמרת ה-Z אלא גם לניתוח ולחיזוי יציבות ותגובת מערכות בזמן בדיד. על ידי הגדרת האזור המסוים שבו התמרת ה-Z מתכנסת, ה-ROC מסייע בתכנון מערכות שהן גם יציבות וגם מתנהגות באופן צפוי. השפעת ה-ROC על התמרת ה-Z ההפוכה מדגישה את חשיבותו בעיבוד אותות, מה שהופך אותו למושג מפתח עבור כל מי שעובד עם אותות ומערכות בזמן בדיד.