19.2 :  Область сходимости

Z-преобразование — это мощный математический инструмент, используемый при анализе дискретных по времени сигналов и систем. Это критически важный метод при анализе дискретных по времени систем, но его сходимость ограничена определенными значениями комплексной переменной z. Этот диапазон значений, известный как область сходимости (ROC), имеет основополагающее значение для определения поведения и устойчивости системы или сигнала. ROC определяет область на комплексной плоскости, где сходится z-преобразование, которая может принимать различные формы, такие как сходимость внутри круга, вне круга или внутри кольца.

Например, рассмотрим экспоненциальный дискретный по времени сигнал x[n]. Z-преобразование этого сигнала образует геометрическую серию, причем его ROC соответствует области вне круга радиуса a с центром в начале координат. Расположение ROC относительно единичной окружности имеет решающее значение при оценке устойчивости системы. Если ROC включает единичную окружность, система устойчива. И наоборот, если ROC лежит за пределами единичной окружности, система нестабильна. Когда ROC точно совпадает с единичной окружностью, система считается минимально устойчивой.

Дискретно-временное преобразование Фурье (ДВПФ) сигнала существует только в том случае, если ROC z-преобразования включает единичную окружность. Важность ROC распространяется также на обратное z-преобразование, которое используется для извлечения исходного сигнала во временном домене из его z-преобразования. ROC необходимо тщательно рассмотреть в этом процессе, поскольку z-преобразование не сходится на полюсах, которые исключены из ROC.

Понимание ROC необходимо не только для обеспечения сходимости z-преобразования, но и для анализа и прогнозирования устойчивости и реакции дискретных временных систем. Очерчивая конкретную область, в которой z-преобразование сходится, ROC помогает в проектировании систем, которые являются стабильными и ведут себя предсказуемо. Влияние ROC на обратное z-преобразование подчеркивает его важность в обработке сигналов, делая его ключевой концепцией для всех, кто работает с дискретными по времени сигналами и системами.