21.6 : تمثيل المتجهات الفضائي

إن تقنية المجال الترددي، التي تُستخدم عادةً في تحليل وتصميم أنظمة التحكم بالتغذية الراجعة، فعّالة في الأنظمة الخطية الثابتة زمنيًا. ومع ذلك، فإنها تقصر عند التعامل مع الأنظمة غير الخطية المتغيرة زمنيًا والمتعددة المدخلات والمخرجات. ويعالج نهج المجال الزمني أو فضاء الحالة هذه القيود من خلال استخدام متغيرات الحالة لبناء معادلات تفاضلية متزامنة من الدرجة الأولى، تُعرف باسم معادلات الحالة، لنظام من الدرجة n.

لنأخذ في الاعتبار دائرة مقاومة وملف ومكثف (RLC)، وهي نظام شائع من الدرجة الثانية. لتحليل هذه الدائرة باستخدام نهج مساحة الحالة، يلزم وجود معادلتين تفاضليتين متزامنتين من الدرجة الأولى. يتم اشتقاق متغيرات الحالة في هذا السياق من الكميات المتباينة في معادلات المشتقات المرتبطة بعناصر تخزين الطاقة، وتحديدًا المحث والمكثف.

يتم استخدام قوانين كيرشوف للجهد والتيار لصياغة معادلات الحالة. ينص قانون كيرشوف للجهد (KVL) على أن جميع فروق الجهد الكهربائي حول الحلقة تساوي صفرًا، بينما يؤكد قانون كيرشوف للتيار (KCL) أن مجموع التيارات الداخلة إلى الوصلة يساوي مجموع التيارات الخارجة منها. تمكِّن هذه القوانين من التعبير عن المتغيرات غير المرتبطة بالحالة كمجموعات خطية من متغيرات الحالة والمدخلات.

في دائرة RLC، تكون متغيرات الحالة هي الجهد عبر المكثف VC والتيار عبر المحث iL. تعبِّر قوانين كيرشوف عن تيار المقاومة والمتغيرات غير المرتبطة بالحالة الأخرى من حيث 𝑉𝐶 و i𝐿. ثم يتم استبدال هذه التعبيرات مرة أخرى في معادلات التفاضل الأصلية للدائرة.

بعد اشتقاق معادلات الحالة، فإن الخطوة الأخيرة هي تمثيل هذه المعادلات في شكل مصفوفة متجهة، وتحقيق تمثيل فضاء الحالة. بالنسبة لدائرة RLC، قد يتضمن هذا تحديد متجه الحالة x ومتجه الإدخال u ومتجه الإخراج y والمصفوفات A وB وC وD على النحو التالي:

يعد هذا التمثيل ضروريًا لتحليل السلوك الديناميكي للنظام وتصميم استراتيجيات التحكم المناسبة.

باختصار، يوفر نهج فضاء الحالة إطارًا قويًا للتعامل مع الأنظمة المعقدة، ويمتد إلى ما هو أبعد من قدرات تقنيات المجال الترددي من خلال استيعاب اللاخطية والتغيرات الزمنية والمدخلات والمخرجات المتعددة.