La tecnica del dominio di frequenza, comunemente usata nell'analisi e nella progettazione di sistemi di controllo a feedback, è efficace per i sistemi lineari e tempo-invarianti. Tuttavia, è carente quando si ha a che fare con i sistemi non lineari, con quelli variabili nel tempo e con più ingressi e più uscite. L'approccio del dominio del tempo o dello spazio di stato affronta queste limitazioni grazie alle variabili di stato per costruire delle equazioni differenziali simultanee di primo ordine, note come equazioni di stato, per un sistema di ordine n.

Consideriamo un circuito RLC, un comune sistema di secondo ordine. Per analizzare questo circuito utilizzando l'approccio dello spazio di stato, sono necessarie due equazioni differenziali simultanee di primo ordine. Le variabili di stato in questo contesto sono derivate dalle quantità differenziate nelle equazioni derivate associate agli elementi di accumulo di energia, in particolare l'induttore e il condensatore.

Le leggi di Kirchhoff sulla tensione e sulla corrente sono usate per formulare le equazioni di stato. La legge di Kirchhoff sulla tensione (KVL) afferma che tutte le differenze di potenziale elettrico attorno ad un loop sono uguali a 0, mentre la legge di Kirchhoff sulla corrente (KCL) afferma che la somma delle correnti che entrano in una giunzione è uguale alla somma delle correnti che escono. Queste leggi consentono l'espressione di variabili non di stato come le combinazioni lineari di variabili di stato e gli input.

In un circuito RLC, le variabili di stato sono la tensione attraverso il condensatore VC e la corrente attraverso l'induttore iL. Le leggi di Kirchhoff esprimono la corrente del resistore e di altre variabili non di stato in termini di VC e iL. Queste espressioni vengono quindi sostituite nuovamente nelle equazioni differenziali originali del circuito.

Dopo aver derivato le equazioni di stato, il passaggio finale consiste nel rappresentare queste equazioni in forma di matrice vettoriale, ottenendo la rappresentazione dello spazio di stato. Per un circuito RLC, questo potrebbe comportare la definizione del vettore di stato x, del vettore di input u, del vettore di output y e delle matrici A, B, C e D in modo che:

Questa rappresentazione è essenziale per analizzare il comportamento dinamico del sistema e per progettare delle strategie di controllo appropriate.

In sintesi, l'approccio allo spazio di stato fornisce un framework robusto per la gestione dei sistemi complessi, estendendosi oltre le capacità delle tecniche del dominio della frequenza, adattandosi alla non linearità, alle variazioni temporali e ad input e output multipli.