28.1 : معادلات تفاضلية لخطوط النقل

تعتبر خطوط النقل من المكونات الأساسية لأنظمة الطاقة الكهربائية. وتتميز بطبيعة توزيع المقاومة (R) والمحاثة (L) والسعة (C) لكل وحدة طول. لتحليل هذه الخطوط، يتم استخدام المعادلات التفاضلية لنمذجة التغيرات في الجهد والتيار على طول الخط.

نموذج مقطع الخط

تساعد الدائرة التي تمثل مقطع خط بطول Δ_x في فهم معلمات خط النقل. يتم قياس الجهد V(x) والتيار i(x) من الطرف المستقبل. يحتوي الخط على معاوقة متسلسلة z=R+jωL لكل وحدة طول وقبول تحويلة y=G+jωC لكل وحدة طول. بتطبيق قانون كيرشوف للجهد (KVL) وقانون كيرشوف للتيار (KCL) على هذا الإعداد، استنتج العلاقات لاختلافات الجهد والتيار على طول الخط.

عندما تقترب Δ_x من الصفر، تتحول هذه العلاقات إلى معادلات تفاضلية متجانسة من الدرجة الأولى وخطية

وتصف هذه المعادلات التفاضلية، بدورها، كيفية تغير الجهد والتيار على طول خط النقل.

يتضمن حل هذه المعادلات التفاضلية تحديد ثابت الانتشار γ، الذي يغلف تأثيرات كل من معاوقة السلسلة على التوالي وقبول التحويلة. تتضمن الحلول العامة للجهد والتيار على طول الخط ثابتين للتكامل يتم تقييمهما باستخدام الشروط الحدودية عند الطرف المستقبل.

تُعد المعاوقة المميزة Z_c معلمة أساسية تعكس المعاوقة الجوهرية لخط النقل. باستخدام حلول المعادلات التفاضلية، يتم التعبير عن الجهد والتيار على طول الخط من حيث الدوال الزائدية، cosh (جيب التمام الزائدي)، وsinh (الجيب الزائدي)، وهي دوال رياضية تستخدم لنمذجة توزيع الجهد والتيار.

معلمات ABCD

يتم استخلاص معلمات ABCD، أو ثوابت خط النقل، من هذه الدوال الزائدية. توفر هذه المعلمات تمثيلًا مصفوفيًا يربط الجهد والتيار عند أي نقطة على طول الخط بالقيم عند الطرف المستقبل. تعد معلمات ABCD بالغة الأهمية لفهم كيفية انتشار الإشارات عبر خط النقل.

ثابت الانتشار

ثابت الانتشار γ هو كمية معقدة تتألف من أجزاء حقيقية وتخيلية تمثل التوهين وتحول الطور على التوالي. وعند ضربه بطول الخط، يصبح هذا الثابت بلا أبعاد وهو ضروري لتقييم الدوال الزائدية التي تصف توزيع الجهد والتيار.

تعتبر معلمات ABCD الدقيقة صالحة لأي طول خط وتوفر حلاً دقيقًا لسلوك خطوط النقل. بالنسبة للحسابات اليدوية العملية التي تتضمن خطوطًا قصيرة ومتوسطة الطول، يمكن استخدام التقريبات. تحلل هذه المعلمات خطوط النقل بشكل شامل في ظل ظروف تشغيل مختلفة، مما يضمن نقل الطاقة بكفاءة وموثوقية.