28.1 : Równania różniczkowe linii przesyłowych

Linie przesyłowe są istotnymi elementami systemów elektroenergetycznych. Charakteryzują się rozproszoną naturą rezystancji (R), indukcyjności (L) i pojemności (C) na jednostkę długości. Aby przeanalizować te linie, stosuje się równania różniczkowe do modelowania zmian napięcia i prądu wzdłuż linii.

Model przekroju liniowego

Obwód przedstawiający odcinek linii o długości Δ_x pomaga w zrozumieniu parametrów linii transmisyjnej. Napięcie V(x) i prąd i(x) są mierzone od końca odbiorczego. Linia ma impedancję szeregową z=R+jωL na jednostkę długości i admitancję bocznikową y=G+jωC na jednostkę długości. Stosując prawo Kirchhoffa napięciowe (KVL) i prawo Kirchhoffa prądowe (KCL) do tej konfiguracji, wyprowadź zależności dla zmian napięcia i prądu wzdłuż linii.

Gdy Δ_x zbliża się do zera, relacje te przekształcają się w liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu jednorodne

Te równania różniczkowe z kolei opisują, jak zmieniają się napięcie i prąd na całej długości linii przesyłowej.

Rozwiązanie tych równań różniczkowych obejmuje określenie stałej propagacji γ, która obejmuje efekty zarówno impedancji szeregowej, jak i admitancji bocznikowej. Ogólne rozwiązania dla napięcia i prądu wzdłuż linii obejmują dwie stałe całkowania oceniane przy użyciu warunków brzegowych na końcu odbiorczym.

Charakterystyczna impedancja Z_c jest kluczowym parametrem, odzwierciedlającym wewnętrzną impedancję linii przesyłowej. Korzystając z rozwiązań równań różniczkowych, napięcie i prąd wyrażone wzdłuż linii w postaci funkcji hiperbolicznych, cosh (cosinus hiperboliczny) i sinh (sinus hiperboliczny), funkcji matematycznych używanych do modelowania rozkładu napięcia i prądu.

Parametry ABCD

Parametry ABCD, czyli stałe linii transmisyjnych, są wyprowadzane z tych funkcji hiperbolicznych. Parametry te zapewniają reprezentację macierzową, która odnosi napięcie i prąd w dowolnym punkcie linii do wartości na końcu odbiorczym. Parametry ABCD są kluczowe dla zrozumienia, w jaki sposób sygnały rozprzestrzeniają się przez linię transmisyjną.

Stała propagacji

Stała propagacji γ jest wielkością zespoloną, której części rzeczywista i urojona reprezentują odpowiednio tłumienie i przesunięcie fazowe. Po pomnożeniu przez długość linii stała ta staje się bezwymiarowa i jest niezbędna do oceny funkcji hiperbolicznych opisujących rozkład napięcia i prądu.

Dokładne parametry ABCD są ważne dla dowolnej długości linii i oferują dokładne rozwiązanie dla zachowania linii przesyłowych. Do praktycznych obliczeń ręcznych obejmujących linie krótkie i średniej długości można stosować przybliżenia. Parametry te kompleksowo analizują linie przesyłowe w różnych warunkach pracy, zapewniając wydajną i niezawodną transmisję mocy.