28.1 : Телеграфные уравнения

Линии передачи являются важными компонентами электроэнергетических систем. Они характеризуются распределенной природой сопротивления (R), индуктивности (L) и емкости (C) на единицу длины. Для анализа этих линий используются дифференциальные уравнения для моделирования изменений напряжения и тока вдоль линии, так называемые телеграфные уравнения.

Модель участка линии

Схема, представляющая участок линии длиной Δx, помогает понять параметры линии передачи. Напряжение V(x) и ток i(x) измеряются с приемного конца. Линия имеет последовательный импеданс z=R+jωL на единицу длины и шунтовую проводимость y=G+jωC на единицу длины. Применяя закон Кирхгофа для напряжения (KVL) и закон Кирхгофа для тока (KCL) к этой установке, выведем соотношения для изменений напряжения и тока вдоль линии.

Когда Δx приближается к нулю, эти соотношения преобразуются в линейные, однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Эти дифференциальные уравнения, в свою очередь, описывают, как напряжение и ток изменяются по длине линии передачи.

Решение этих дифференциальных уравнений включает определение постоянной распространения γ, которая инкапсулирует эффекты как последовательного импеданса, так и шунтовой проводимости. Общие решения для напряжения и тока вдоль линии включают две константы интегрирования, оцененные с использованием граничных условий на приемном конце.

Характеристический импеданс Zc является ключевым параметром, отражающим собственное сопротивление линии передачи. Используя решения дифференциальных уравнений, напряжение и ток выражаются вдоль линии в терминах гиперболических функций, cosh (гиперболический косинус) и sinh (гиперболический синус), математических функций, используемых для моделирования распределения напряжения и тока.

Параметры ABCD

Параметры ABCD, или константы линии передачи, выводятся из этих гиперболических функций. Эти параметры обеспечивают матричное представление, которое связывает напряжение и ток в любой точке вдоль линии со значениями на приемном конце. Параметры ABCD имеют решающее значение для понимания того, как сигналы распространяются по линии передачи.

Постоянная распространения

Постоянная распространения γ является комплексной величиной с действительной и мнимой частями, представляющими затухание и сдвиг фазы, соответственно. При умножении на длину линии эта константа становится безразмерной и имеет важное значение для оценки гиперболических функций, описывающих распределение напряжения и тока.

Точные параметры ABCD действительны для любой длины линии и предлагают точное решение для поведения линии передачи. Для практических ручных расчетов, относящихся к линиям короткой и средней длины, можно использовать приближения. Эти параметры всесторонне анализируют линии электропередачи в различных условиях эксплуатации, обеспечивая эффективную и надежную передачу электроэнергии.