18.14 : Verallgemeinertes Hookesches Gesetz

Das verallgemeinerte Hookesche Gesetz ist eine erweiterte Version des Hookeschen Gesetzes, das sich auf alle Arten von Spannungen und in jede Richtung erstreckt. Stellen Sie sich ein isotropes Material in Würfelform vor, das einer mehrachsigen Belastung ausgesetzt ist. In diesem Szenario werden Normalspannungen entlang der drei Koordinatenachsen ausgeübt. Durch diese Spannungen verformt sich die kubische Form zu einem rechteckigen Parallelepiped. Trotz dieser Verformung behält die neue Form gleiche Seiten bei und es gibt eine Normalspannung in Richtung der Koordinatenachsen. Die Dehnungskomponenten werden aus den Spannungskomponenten abgeleitet. Bei diesem Prozess werden die Auswirkungen jeder Stresskomponente einzeln betrachtet und diese Effekte dann integriert.

Diese Methode nutzt das Superpositionsprinzip, das davon ausgeht, dass jeder Effekt linear mit seiner Belastung zusammenhängt und die resultierenden Verformungen gering sind. Diese Bedingungen gelten bei mehrachsiger Belastung, wenn die Spannungen die Proportionalitätsgrenze des Materials nicht überschreiten. Darüber hinaus sollte die auf eine bestimmte Fläche ausgeübte Spannung keine erheblichen Verformungen verursachen, die sich auf die Spannungsberechnung auf anderen Flächen auswirken könnten. Jede Spannungskomponente induziert Dehnungen in ihrer jeweiligen Richtung und Dehnungen in den anderen beiden Richtungen. Durch die Zusammenführung dieser Einzeleffekte lassen sich die der mehrachsigen Belastung entsprechenden Dehnungskomponenten ableiten. Diese abgeleiteten Komponenten stellen das verallgemeinerte Hookesche Gesetz dar.