23.2 : Sistemas de primer orden

Los sistemas de primer orden, como los circuitos RC, son fundamentales para comprender los sistemas dinámicos debido a su sencilla relación de entrada-salida. El análisis de sus respuestas a diferentes funciones de entrada en condiciones iniciales cero revela información importante sobre el comportamiento del sistema.

Cuando un sistema de primer orden se somete a una entrada de paso unitario, su respuesta se caracteriza por su función de transferencia. Aplicando la transformada de Laplace de la entrada de paso unitario a la función de transferencia, expandiendo el resultado en fracciones parciales y realizando la transformada de Laplace inversa, se obtiene la salida. Esta salida comienza desde cero y se acerca asintóticamente a uno. Cabe destacar que, en una constante de tiempo única (τ), la respuesta alcanza el 63,2% de su valor final, lo que indica la velocidad de respuesta inicial del sistema.

Para una entrada de rampa unitaria, la respuesta del sistema y la señal de error se derivan de manera similar. La transformada de Laplace de la entrada de rampa unitaria se sustituye en la función de transferencia, se expande en fracciones parciales y luego se realiza la transformada de Laplace inversa. La salida resultante muestra cómo el sistema sigue la entrada de rampa. A medida que el tiempo se acerca al infinito, la señal de error se estabiliza alrededor de la constante de tiempo (τ), lo que implica que los sistemas con constantes de tiempo más pequeñas tienen errores de estado estable reducidos, lo que indica un mejor rendimiento en el seguimiento de entradas de rampa.

Para una entrada de impulso unitario, la respuesta del sistema se obtiene directamente utilizando el método de la transformada de Laplace. La función de respuesta de impulso unitario resalta el comportamiento transitorio del sistema, ilustrando cómo reacciona inicialmente el sistema a una entrada repentina.

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) presentan una propiedad única en la que la respuesta a la derivada o integral de una señal de entrada se puede determinar diferenciando o integrando la respuesta a la señal original. Esta propiedad simplifica el análisis de los sistemas LTI al aprovechar las respuestas conocidas. Sin embargo, esta propiedad no se extiende a los sistemas lineales variables en el tiempo (LTV) o no lineales, en los que la respuesta a las derivadas o integrales de las entradas debe calcularse a partir de principios básicos.

Comprender las respuestas de los sistemas de primer orden a estas funciones de entrada básicas es esencial para diseñar y analizar sistemas más complejos, ya que proporciona conocimientos fundamentales sobre su comportamiento dinámico y métricas de rendimiento.