23.2 : Systèmes du premier ordre

Les systèmes du premier ordre, tels que les circuits RC, sont fondamentaux pour la compréhension des systèmes dynamiques en raison de leur relation simple entrée-sortie. L'analyse de leurs réponses à différentes fonctions d'entrée dans des conditions initiales nulles révèle des informations importantes sur le comportement du système.

Lorsqu'un système du premier ordre est soumis à une entrée à pas unitaire, sa réponse est caractérisée par sa fonction de transfert. En appliquant la transformée de Laplace de l'entrée à pas unitaire à la fonction de transfert, en développant le résultat en fractions partielles et en effectuant la transformée de Laplace inverse, on obtient la sortie. Cette sortie part de zéro et s'approche asymptotiquement de un. Notamment, à une constante de temps unique (τ), la réponse atteint 63,2 % de sa valeur finale, ce qui indique la vitesse de réponse initiale du système.

Pour une entrée de rampe unitaire, la réponse du système et le signal d'erreur sont dérivés de la même manière. La transformée de Laplace de l'entrée de rampe unitaire est substituée dans la fonction de transfert, développée en fractions partielles, puis transformée de Laplace inverse. La sortie résultante montre comment le système suit l'entrée de rampe. Lorsque le temps approche de l'infini, le signal d'erreur se stabilise autour de la constante de temps (τ), ce qui implique que les systèmes avec des constantes de temps plus petites ont des erreurs en régime permanent réduites, indiquant de meilleures performances dans le suivi des entrées de rampe.

Pour une entrée à impulsion unitaire, la réponse du système est obtenue directement à l'aide de la méthode de la transformée de Laplace. La fonction de réponse à impulsion unitaire met en évidence le comportement transitoire du système, illustrant la manière dont le système réagit initialement à une entrée soudaine.

Les systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI) présentent une propriété unique dans laquelle la réponse à la dérivée ou à l'intégrale d'un signal d'entrée peut être déterminée en différenciant ou en intégrant la réponse au signal d'origine. Cette propriété simplifie l'analyse des systèmes LTI en exploitant les réponses connues. Cependant, cette propriété ne s'étend pas aux systèmes linéaires variables dans le temps (LTV) ou non linéaires, où la réponse aux dérivées ou aux intégrales des entrées doit être calculée à partir des premiers principes.

Comprendre les réponses des systèmes de premier ordre à ces fonctions d’entrée de base est essentiel pour concevoir et analyser des systèmes plus complexes, car cela fournit des informations fondamentales sur leur comportement dynamique et leurs mesures de performance.