23.2 : Sistemas de Primeira Ordem

Sistemas de primeira ordem, como circuitos RC, são fundamentais para entender sistemas dinâmicos devido à sua relação direta de entrada-saída. Analisar suas respostas a diferentes funções de entrada sob condições iniciais zero revela visões significativos sobre o comportamento do sistema.

Quando um sistema de primeira ordem é submetido a uma entrada de passo unitário, sua resposta é caracterizada por sua função de transferência. Aplicando a transformada de Laplace da entrada de passo unitário à função de transferência, expandindo o resultado em frações parciais e realizando a transformada de Laplace inversa, a saída é obtida. Esta saída começa do zero e se aproxima assintoticamente de um. Notavelmente, em uma constante de tempo único (τ), a resposta atinge 63,2% de seu valor final, indicando a velocidade de resposta inicial do sistema.

Para uma entrada de rampa unitária, a resposta do sistema e o sinal de erro são derivados semelhantemente. A transformada de Laplace da entrada de rampa unitária é substituída na função de transferência, expandida em frações parciais e, em seguida, transformada de Laplace inversa. A saída resultante mostra como o sistema rastreia a entrada de rampa. À medida que o tempo se aproxima do infinito, o sinal de erro se estabiliza em torno da constante de tempo (τ), o que implica que sistemas com constantes de tempo menores têm erros de estado estacionário reduzidos, indicando melhor desempenho no rastreamento de entradas de rampa.

Para uma entrada de impulso unitário, a resposta do sistema é obtida diretamente usando o método da transformada de Laplace. A função de resposta de impulso unitário destaca o comportamento transitório do sistema, ilustrando como o sistema reage inicialmente a uma entrada repentina.

Os sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) exibem uma propriedade única onde a resposta à derivada ou integral de um sinal de entrada pode ser determinada pela diferenciação, ou integração da resposta ao sinal original. Essa propriedade simplifica a análise de sistemas LTI aproveitando respostas conhecidas. No entanto, essa propriedade não se estende a sistemas lineares variáveis ​​no tempo (LTV) ou não lineares, onde a resposta a derivadas ou integrais de entradas deve ser computada a partir de primeiros princípios.

Entender as respostas dos sistemas de primeira ordem a essas funções básicas de entrada é essencial para projetar e analisar sistemas mais complexos ao fornecer visões fundamentais sobre seu comportamento dinâmico e métricas de desempenho.