23.4 : מערכות מסדר שני

במערכת מסדר שני בעלת דעיכת חסר, כאשר מקדם הדעיכה ζ נמצא בין 0 ל-1, כניסת מדרגה אחידה מביאה לפונקציית תמסורת אשר, לאחר שימוש בשיטת התמרת לפלס ההפוכה, חושפת את תגובת היציאה. היציאה מציגה תנודות סינוסואידליות מדוכאות, וההפרש בין הכניסה ליציאה נקרא אות השגיאה. אות השגיאה הזה מפגין גם הוא תנודות מדוכאות. בסופו של דבר, כשהמערכת מגיעה למצב יציב, השגיאה מתפוגגת לאפס.

אם ζ = 0, המערכת הופכת לחסרת דעיכה, מה שמוביל לתנודות מתמשכות ללא דעיכה. המערכת ממשיכה להתנדנד לנצח ואינה מגיעה למצב יציב.

במצב של דעיכה קריטית, כאשר ζ = 1, הקטבים של המערכת זהים. עבור כניסת מדרגה אחידה, גוזרים את משוואת היציאה, ובעזרת התמרת לפלס ההפוכה מתקבלת התגובה. תגובה זו אינה מציגה תנודות ומגיעה לשיווי משקל במהירות האפשרית ללא חצייה של ערך המטרה.

במצב של דעיכת יתר, כאשר ζ > 1, שני המרכיבים האינטגרליים של המערכת הם ממשיים, שליליים ולא שווים. כאשר מוחלת כניסת מדרגה אחידה, מתקבלת משוואת היציאה. התמרת לפלס ההפוכה של משוואה זו מביאה לתגובה המתאפיינת בשני אקספוננטים דועכים. אחד מהאקספוננטים מתפוגג הרבה יותר מהר מהשני כאשר מקדם הדעיכה גדול בהרבה מאחד. כתוצאה מכך, ניתן לעיתים להתעלם מהאקספוננט שמתפוגג במהירות רבה יותר, מה שמפשט את התגובה ומדמה אותה לתגובת מערכת מסדר ראשון. קירוב זה מאפשר לגזור פונקציית תמסורת בקירוב, מה שמפשט את האנליזה והתכנון.

לסיכום, הבנת התנהגותן של מערכות מסדר שני בתגובה לכניסת מדרגה אחידה בתנאי דעיכה שונים היא קריטית לעיצוב וניתוח מערכות. תגובת דעיכת החסר מתאפיינת בתנודות מדוכאות, בעוד שתגובת חוסר הדעיכה מציגה תנודות מתמשכות. מערכות בדעיכה קריטית מגיעות לשיווי משקל במהירות ללא תנודות, ואילו מערכות בדעיכת יתר מציגות תגובות איטיות ולא תנודתיות. תובנות אלו חיוניות לכיוון מערכות על מנת להשיג מאפייני ביצועים רצויים, ולהבטיח יציבות ודיוק ביישומים מעשיים.