23.4 : Systèmes du second ordre II

Dans un système du second ordre sous-amorti, où le rapport d'amortissement ζ est compris entre 0 et 1, une entrée à pas unitaire produit une fonction de transfert qui, une fois transformée à l'aide de la méthode de Laplace inverse, révèle la réponse de sortie. La sortie présente une oscillation sinusoïdale amortie, et la différence entre l'entrée et la sortie est appelée signal d'erreur. Ce signal d'erreur présente également un comportement oscillatoire amorti. Finalement, lorsque le système atteint un état stable, l'erreur diminue jusqu'à zéro.

Si ζ = 0, le système devient non amorti, ce qui conduit à des oscillations perpétuelles sans aucune atténuation. Le système continue à osciller indéfiniment, sans jamais atteindre un état stationnaire.

Dans un scénario d'amortissement critique, où ζ = 1, les pôles du système sont identiques. Pour une entrée à pas unitaire, l'équation de sortie est dérivée et, par transformation de Laplace inverse, la réponse est obtenue. Cette réponse ne présente pas d'oscillations et revient à l'équilibre aussi rapidement que possible sans dépassement.

Dans un scénario suramorti, où ζ > 1, les deux composantes intégrales du système sont réelles, négatives et inégales. Lorsqu'une entrée à pas unitaire est appliquée, l'équation de sortie est formulée. La transformation de Laplace inverse de cette équation produit une réponse caractérisée par deux termes exponentiels décroissants. L'un de ces termes exponentiels décroissants est significativement plus rapide que l'autre lorsque le rapport d'amortissement est bien supérieur à l'unité. Par conséquent, le terme décroissant le plus rapidement peut souvent être négligé, simplifiant la réponse pour ressembler à celle d'un système du premier ordre. Cette approximation permet de déduire une fonction de transfert approximative, simplifiant ainsi l'analyse et la conception.

En résumé, la compréhension du comportement des systèmes du second ordre en réponse à une entrée unitaire dans diverses conditions d'amortissement est essentielle pour la conception et l'analyse des systèmes. La réponse sous-amortie est caractérisée par des oscillations amorties, tandis que la réponse non amortie présente des oscillations continues. Les systèmes à amortissement critique atteignent rapidement l'équilibre sans oscillations, et les systèmes suramortis présentent des réponses plus lentes et non oscillatoires. Ces informations sont essentielles pour régler les systèmes afin d'atteindre les caractéristiques de performance souhaitées, garantissant ainsi la stabilité et la précision dans les applications pratiques.