15.1 : تعريف تحويل لابلاس

تحويل لابلاس هو تقنية رياضية لا غنى عنها لتبسيط حل المعادلات التفاضلية عن طريق تحويلها إلى تعبيرات جبرية أكثر قابلية للإدارة. يُشار إلى تحويل لابلاس للدالة بـ 𝐿[𝑥(𝑡)]، حيث 𝑥(𝑡) هي دالة المجال الزمني. يُعبر عن تحويل لابلاس رياضيًا بـ

هنا، S هو متغير مركب يتألف من جزء حقيقي (𝜎) وجزء تخيلي (𝜔).

هناك نوعان أساسيان من تحويلات لابلاس: ثنائية الجانب وأحادية الجانب. تحويل لابلاس الثنائي، المعطى بواسطة:

يستوعب هذا التحويل الدوال الزمنية غير الصفرية لفترات زمنية سالبة، مما يجعله مناسبًا للإشارات السببية وغير السببية. وعلى النقيض من ذلك، يفترض تحويل لابلاس الأحادي الجانب الأكثر استخدامًا أن الدالة تساوي صفرًا للزمن السالب، مع التركيز فقط على إشارات الزمن الموجب.

تتمثل إحدى السمات الأساسية لتحويل لابلاس في قدرته على نقل دالة من المجال الزمني إلى المجال s، مما ينتج عنه زوج تحويل لابلاس. لا تُبسِّط هذه العملية معالجة الدالة فحسب، بل تمكِّن أيضًا من حل أكثر مباشرة للمعادلات التفاضلية المعقدة. يُستخدَم تحويل لابلاس العكسي لإعادة دالة المجال s إلى شكلها الأصلي في المجال الزمني ويتم تمثيله بواسطة:

حيث X(s) هو تمثيل المجال s لـ x(t).

تطبيقات تحويل لابلاس واسعة ومتنوعة. يتم استخدامه على نطاق واسع في تحليل الإشارات، مما يساعد في فهم ومعالجة الإشارات في المجال s. في هندسة التحكم، يعمل تحويل لابلاس على تبسيط تحليل وتصميم أنظمة التحكم من خلال تحويل المعادلات التفاضلية التي تصف ديناميكيات النظام إلى معادلات جبرية. يعد هذا التحويل أمرًا بالغ الأهمية في تحديد استقرار النظام وتصميم استراتيجيات التحكم المناسبة. يساعد تحويل لابلاس في تحليل وتصميم المرشحات والشبكات في أنظمة الاتصالات. كما يلعب دورًا مهمًا في تحليل النظام وحل المعادلات التفاضلية، مما يوفر مجموعة أدوات قوية للمهندسين وعلماء الرياضيات.