15.1 : Definición de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una técnica matemática indispensable para simplificar la resolución de ecuaciones diferenciales al convertirlas en expresiones algebraicas más manejables. La transformada de Laplace de una función se denota por L[x(t)], donde x(t) es la función del dominio del tiempo. La transformada de Laplace se expresa matemáticamente como

Aquí, S es una variable compleja que comprende una parte real (σ) y una parte imaginaria (ω).

Hay dos tipos principales de transformadas de Laplace: bilateral y unilateral. La transformada de Laplace bilateral, dada por:

Esta transformación se adapta a funciones de tiempo no nulo para intervalos de tiempo negativos, lo que la hace adecuada para señales causales y no causales. Por el contrario, la transformada de Laplace unilateral, que se utiliza con más frecuencia, supone que la función es cero para el tiempo negativo y se concentra únicamente en las señales de tiempo positivo.

Una característica fundamental de la transformada de Laplace es su capacidad de traducir una función del dominio del tiempo al dominio s, lo que da como resultado un par de transformadas de Laplace. Este proceso no solo simplifica la manipulación de la función, sino que también permite una solución más directa de ecuaciones diferenciales complejas. La transformada de Laplace inversa se utiliza para revertir la función del dominio s a su forma original del dominio del tiempo y se representa mediante:

Donde X(s) es la representación del dominio s de x(t).

Las aplicaciones de la transformada de Laplace son amplias y variadas. Se emplea ampliamente en el análisis de señales, lo que ayuda a comprender y manipular señales en el dominio s. En ingeniería de control, la transformada de Laplace simplifica el análisis y el diseño de sistemas de control al transformar ecuaciones diferenciales que describen la dinámica del sistema en ecuaciones algebraicas. Esta transformación es crucial para determinar la estabilidad del sistema y diseñar estrategias de control adecuadas. La transformada de Laplace ayuda a analizar y diseñar filtros y redes en sistemas de comunicación. También desempeña un papel importante en el análisis de sistemas y la resolución de ecuaciones diferenciales, proporcionando un conjunto de herramientas sólidas para ingenieros y matemáticos.